TRINOM DER FORM X ^ 2 + BX + C (MIT BEISPIELEN) - MATHE - 2025

Bevor Sie lernen, das Trinom der Form x ^ 2 + bx + c zu lösen , und bevor Sie das Konzept eines Trinoms kennen, ist es wichtig, zwei wesentliche Begriffe zu kennen. nämlich die Konzepte von Monom und Polynom. Ein Monom ist ein Ausdruck vom Typ a * x ⁿ , wobei a eine rationale Zahl ist, n eine natürliche Zahl ist und x eine Variable ist.

Ein Polynom ist eine lineare Kombination von Monomen der Form a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , wobei jedes a _i mit i = 0,…, n, ist eine rationale Zahl, n ist eine natürliche Zahl und a_n ist ungleich Null. In diesem Fall soll der Grad des Polynoms n sein.

Ein Polynom, das aus der Summe von nur zwei Termen (zwei Monomen) unterschiedlichen Grades besteht, wird als Binom bezeichnet.

Trinome

Ein Polynom, das aus der Summe von nur drei Termen (drei Monomen) unterschiedlichen Grades besteht, wird als Trinom bezeichnet. Das Folgende sind Beispiele für Trinome:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Es gibt verschiedene Arten von Trinomen. Von diesen sticht das perfekte quadratische Trinom hervor.

Perfektes quadratisches Trinom

Ein perfektes quadratisches Trinom ist das Ergebnis der Quadratur eines Binomials. Beispielsweise:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2 × ³ + y) ² = 4 × ⁶ + 4 × ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Eigenschaften von Trinomen der Klasse 2

Perfektes Viereck

Im Allgemeinen ist ein Trinom der Form ax ² + bx + c ein perfektes Quadrat, wenn seine Diskriminante gleich Null ist; das heißt, wenn b ² -4ac = 0 ist, da es in diesem Fall eine einzelne Wurzel hat und in der Form a (xd) ² = (√a (xd)) ² ausgedrückt werden kann , wobei d die bereits erwähnte Wurzel ist.

Eine Wurzel eines Polynoms ist eine Zahl, bei der das Polynom Null wird; Mit anderen Worten, eine Zahl, die beim Ersetzen von x im Polynomausdruck zu Null führt.

Formel auflösen

Eine allgemeine Formel zur Berechnung der Wurzeln eines Polynoms zweiten Grades der Form ax ² + bx + c ist die Resolventformel, die besagt, dass diese Wurzeln gegeben sind durch (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, wobei b ² -4ac als Diskriminante bekannt ist und üblicherweise mit ∆ bezeichnet wird. Aus dieser Formel folgt, dass ax ² + bx + c hat:

- Zwei verschiedene reelle Wurzeln, wenn ∆> 0.

- Eine einzelne reelle Wurzel, wenn ∆ = 0 ist.

- Es hat keine echte Wurzel, wenn ∆ <0 ist.

Im Folgenden werden nur Trinome der Form x ² + bx + c berücksichtigt, wobei c eindeutig eine andere Zahl als Null sein muss (andernfalls wäre es ein Binom). Diese Arten von Trinomen haben bestimmte Vorteile, wenn sie berücksichtigt und damit gearbeitet werden.

Geometrische Interpretation

Geometrisch ist der trinomial x ² + bx + c ist eine Parabel , die sich nach oben öffnet und den Scheitelpunkt am Punkt (-b / 2, -b ² /4 + c) der kartesischen Ebene , die x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -B ² /4 + c.

Diese Parabel schneidet die Y-Achse am Punkt (0, c) und die X-Achse an den Punkten (d ₁ , 0) und (d ₂ , 0); dann sind d ₁ und d ₂ die Wurzeln des Trinoms. Es kann vorkommen, dass das Trinom eine einzige Wurzel d hat. In diesem Fall wäre der einzige Schnitt mit der X-Achse (d, 0).

Es kann auch vorkommen, dass das Trinom keine echte Wurzel hat. In diesem Fall würde es an keinem Punkt die X-Achse schneiden.

Zum Beispiel ist x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² die Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (-3,0), der die Y-Achse bei (0, schneidet, 9) und zur X-Achse bei (-3,0).

Trinomial Factoring

Ein sehr nützliches Werkzeug bei der Arbeit mit Polynomen ist das Factoring, bei dem ein Polynom als Produkt von Faktoren ausgedrückt wird. Wenn ein Trinom der Form x ² + bx + c zwei verschiedene Wurzeln d ₁ und d _{2 hat} , kann es im Allgemeinen als (xd ₁ ) (xd ₂ ) berücksichtigt werden .

Wenn es eine einzelne Wurzel d hat, kann es als (xd) (xd) = (xd) ² berücksichtigt werden , und wenn es keine echte Wurzel hat, bleibt es gleich; In diesem Fall wird eine Faktorisierung nicht als Produkt anderer Faktoren als sich selbst zugelassen.

Dies bedeutet, dass, wenn man die Wurzeln eines Trinoms in der bereits etablierten Form kennt, seine Faktorisierung leicht ausgedrückt werden kann und wie oben bereits erwähnt, diese Wurzeln immer unter Verwendung des Resolvens bestimmt werden können.

Es gibt jedoch eine erhebliche Menge dieser Art von Trinomen, die berücksichtigt werden können, ohne vorher ihre Wurzeln zu kennen, was die Arbeit vereinfacht.

Die Wurzeln können direkt aus der Faktorisierung ohne Verwendung der Resolventformel bestimmt werden; Dies sind die Polynome der Form x ² + (a + b) x + ab. In diesem Fall haben wir:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Daraus ist leicht ersichtlich, dass die Wurzeln –a und –b sind.

Mit anderen Worten, wenn bei einem Trinom x ² + bx + c zwei Zahlen u und v vorhanden sind, so dass c = uv und b = u + v, dann ist x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Das heißt, wenn ein Trinom x ² + bx + c gegeben ist, wird zuerst überprüft, ob es zwei Zahlen gibt, so dass multipliziert sie den unabhängigen Term (c) ergeben und addiert (oder subtrahiert, je nach Fall) den Term ergeben, der das x begleitet ( b).

Nicht bei allen Trinomen auf diese Weise kann diese Methode angewendet werden; in denen es nicht möglich ist, wird die Auflösung verwendet und es gilt das Vorgenannte.

Beispiele

Beispiel 1

Um das folgende Trinom x ² + 3x + 2 zu faktorisieren , gehen Sie wie folgt vor:

Sie müssen zwei Zahlen finden, sodass beim Hinzufügen das Ergebnis 3 ist und beim Multiplizieren das Ergebnis 2 ist.

Nach einer Inspektion kann geschlossen werden, dass die gesuchten Zahlen: 2 und 1 sind. Daher ist x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Beispiel 2

Um das Trinom x ² -5x + 6 zu faktorisieren, suchen wir nach zwei Zahlen, deren Summe -5 und deren Produkt 6 ist. Die Zahlen, die diese beiden Bedingungen erfüllen, sind -3 und -2. Daher beträgt die Faktorisierung des gegebenen Trinoms x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Verweise

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