PERMUTATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG: FORMELN, BEWEISE, ÜBUNGEN, BEISPIELE - DUDAS - 2024

Eine Permutation ohne Wiederholung von n Elementen sind die verschiedenen Gruppen verschiedener Elemente, die erhalten werden können, wenn kein Element wiederholt wird, sondern nur die Reihenfolge der Platzierung der Elemente variiert wird.

Um die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung herauszufinden, wird die folgende Formel verwendet:

Pn = n!

Welches erweitert wäre Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

Im vorherigen praktischen Beispiel würde es also wie folgt angewendet:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschiedene 4-stellige Zahlen.

Dies sind die insgesamt 24 Arrays: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Wie zu sehen ist, gibt es auf keinen Fall eine Wiederholung, da es sich um 24 verschiedene Zahlen handelt.

Demo und Formeln

24 Anordnungen von 4 verschiedenen Figuren

Wir werden das Beispiel der 24 verschiedenen 4-stelligen Anordnungen, die mit den Ziffern der Nummer 2468 gebildet werden können, genauer analysieren. Die Anzahl der Anordnungen (24) kann wie folgt bekannt sein:

Sie haben 4 Optionen, um die erste Ziffer auszuwählen. Sie haben also 3 Optionen, um die zweite auszuwählen. Es wurden bereits zwei Ziffern eingestellt und es bleiben zwei Optionen für die Auswahl der dritten Ziffer. Die letzte Ziffer hat nur eine Auswahlmöglichkeit.

Daher wird die Anzahl der mit P4 bezeichneten Permutationen durch das Produkt der Auswahloptionen in jeder Position erhalten:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschiedene 4-stellige Zahlen

Im Allgemeinen beträgt die Anzahl verschiedener Permutationen oder Anordnungen, die mit allen n Elementen einer gegebenen Menge durchgeführt werden können:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Der Ausdruck n! es ist als n Fakultät bekannt und bedeutet das Produkt aller natürlichen Zahlen, die zwischen der Zahl n und der Zahl eins liegen, einschließlich beider.

12 Anordnungen von 2 verschiedenen Figuren

Angenommen, Sie möchten die Anzahl der Permutationen oder zweistelligen Zahlen wissen, die mit den Ziffern der Zahl 2468 gebildet werden können.

Dies wären insgesamt 12 Vereinbarungen: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Sie haben 4 Optionen, um die erste Ziffer auszuwählen, wobei 3 Ziffern übrig bleiben, um die zweite auszuwählen. Daher wird die Anzahl der Permutationen der 4 Ziffern, die zwei mal zwei genommen werden und mit 4P2 bezeichnet sind, durch das Produkt der Auswahloptionen an jeder Position erhalten:

4P2 = 4 * 3 = 12 verschiedene zweistellige Zahlen

Im Allgemeinen beträgt die Anzahl verschiedener Permutationen oder Anordnungen, die mit r Elementen des n insgesamt in einer gegebenen Menge durchgeführt werden können:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Der obige Ausdruck wird vor dem Spielen von n! Abgeschnitten. Um n zu vervollständigen! daraus sollten wir schreiben:

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1)

Die Faktoren, die wir hinzufügen, stellen wiederum eine Fakultät dar:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

So,

n! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

Von hier

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Beispiele

Beispiel 1

Wie viele verschiedene 5-Buchstaben-Buchstabenkombinationen können mit den Buchstaben des Wortes KEY erstellt werden?

Wir wollen die Anzahl der verschiedenen Buchstabenkombinationen von 5 Buchstaben finden, die mit den 5 Buchstaben des Wortes KEY erstellt werden können. Das heißt, die Anzahl der Arrays mit 5 Buchstaben, an denen alle im Wort KEY verfügbaren Buchstaben beteiligt sind.

Anzahl der Wörter mit 5 Buchstaben = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschiedene Buchstabenkombinationen mit 5 Buchstaben.

Dies wären: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… insgesamt bis zu 120 verschiedene Buchstabenkombinationen.

Beispiel 2

Sie haben 15 nummerierte Bälle und möchten wissen, wie viele verschiedene Gruppen von 3 Bällen mit den 15 nummerierten Bällen gebildet werden können?

Sie möchten die Anzahl der Gruppen von 3 Bällen ermitteln, die mit den 15 nummerierten Bällen erstellt werden können.

Anzahl der Gruppen von 3 Bällen = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Anzahl der Gruppen von 3 Bällen = 15 * 14 * 13 = 2730 Gruppen von 3 Bällen

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein Obstladen verfügt über einen Ausstellungsstand, der aus einer Reihe von Fächern besteht, die sich in der Eingangshalle des Geländes befinden. An einem Tag erwirbt der Gemüsehändler zum Verkauf: Orangen, Bananen, Ananas, Birnen und Äpfel.

a) Auf wie viele verschiedene Arten müssen Sie den Messestand bestellen?

b) Auf wie viele verschiedene Arten müssen Sie den Stand bestellen, wenn Sie zusätzlich zu den genannten Früchten (5) an diesem Tag Mangos, Pfirsiche, Erdbeeren und Trauben (4) erhalten haben?

a) Wir möchten die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, um alle Früchte in der Anzeigezeile zu bestellen. Das heißt, die Anzahl der Arrangements von 5 Obstartikeln, an denen alle an diesem Tag zum Verkauf angebotenen Früchte beteiligt sind.

Anzahl der Standanordnungen = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Standanordnungen = 120 Möglichkeiten, den Stand zu präsentieren

b) Wir möchten die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, um alle Früchte in der Anzeigezeile zu bestellen, wenn 4 zusätzliche Elemente hinzugefügt wurden. Das heißt, die Anzahl der Arrangements von 9 Obstartikeln, an denen alle an diesem Tag zum Verkauf angebotenen Früchte beteiligt sind.

Anzahl der Standanordnungen = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Standanordnungen = 362.880 Möglichkeiten, den Stand zu präsentieren

Übung 2

Ein kleines Lebensmittelgeschäft verfügt über ein Grundstück mit ausreichend Platz für 6 Fahrzeuge.

a) Wie viele verschiedene Arten der Bestellung der Fahrzeuge auf dem Grundstück können ausgewählt werden?

b) Angenommen, es wird ein zusammenhängendes Grundstück erworben, dessen Abmessungen das Parken von 10 Fahrzeugen ermöglichen. Wie viele verschiedene Formen der Fahrzeuganordnung können jetzt ausgewählt werden?

a) Wir möchten die Anzahl der verschiedenen Bestellmöglichkeiten für die 6 Fahrzeuge ermitteln, die auf dem Grundstück untergebracht werden können.

Anzahl der Anordnungen der 6 Fahrzeuge = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Anordnungen der 6 Fahrzeuge = 720 verschiedene Arten der Bestellung der 6 Fahrzeuge auf dem Grundstück.

b) Wir möchten herausfinden, wie viele verschiedene Arten der Bestellung der 10 Fahrzeuge möglich sind, die nach der Erweiterung des Grundstücks auf dem Grundstück untergebracht werden können.

Anzahl der Anordnungen der 10 Fahrzeuge = P10 = 10!

Anzahl der Fahrzeuganordnungen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Anordnungen der 10 Fahrzeuge = 3.628.800 verschiedene Arten der Bestellung der 10 Fahrzeuge auf dem Grundstück.

Übung 3

Ein Florist hat Blumen in 6 verschiedenen Farben, um Blumenflaggen von Nationen herzustellen, die nur 3 Farben haben. Wenn bekannt ist, dass die Reihenfolge der Farben in den Flags wichtig ist,

a) Wie viele verschiedene Flaggen mit 3 Farben können mit den 6 verfügbaren Farben hergestellt werden?

b) Der Verkäufer kauft Blumen in 2 zusätzlichen Farben zu den 6, die er bereits hatte. Wie viele verschiedene Flaggen in 3 Farben können jetzt hergestellt werden?

c) Da Sie 8 Farben haben, entscheiden Sie sich, Ihr Flaggenangebot zu erweitern. Wie viele verschiedene 4-Farben-Flaggen können Sie herstellen?

d) Wie viele von 2 Farben?

a) Wir möchten die Anzahl der verschiedenen Flaggen mit 3 Farben ermitteln, die durch Auswahl aus den 6 verfügbaren Farben erstellt werden können.

Anzahl der 3-Farben-Flags = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Anzahl der 3-Farben-Flags = 6 * 5 * 4 = 120 Flags

b) Sie möchten die Anzahl der verschiedenen Flaggen mit 3 Farben ermitteln, die durch Auswahl aus den 8 verfügbaren Farben erstellt werden können.

Anzahl der 3-Farben-Flags = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Anzahl der 3-Farben-Flags = 8 * 7 * 6 = 336 Flags

c) Die Anzahl der verschiedenen 4-Farben-Flags, die durch Auswahl aus den 8 verfügbaren Farben erstellt werden können, muss berechnet werden.

Anzahl der 4-Farben-Flags = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Anzahl der 4-Farben-Flags = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 Flags

d) Sie möchten die Anzahl der verschiedenen zweifarbigen Flags bestimmen, die durch Auswahl aus den 8 verfügbaren Farben erstellt werden können.

Anzahl der 2-Farben-Flags = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Anzahl der 2-Farben-Flags = 8 * 7 = 56 Flags

Verweise

1. Boada, A. (2017). Verwendung der Permutation mit Wiederholung als Lehre von Experimenten. Vivat Academia Magazine. Von researchgate.net wiederhergestellt.
2. Canavos, G. (1988). Wahrscheinlichkeit und Statistik. Anwendungen und Methoden. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glass, G.; Stanley, J. (1996). Statistische Methoden, die nicht auf die Sozialwissenschaften angewendet werden. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiken. Vierte Ausgabe. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Wahrscheinlichkeit & Statistik für Ingenieure & Wissenschaftler. Achte Ausgabe. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistiken für Wirtschaft und Wirtschaft. Dritte Auflage. McGraw-Hill / Interamericana SA
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