ZIRKULÄRE PERMUTATIONEN: BEWEIS, BEISPIELE, GELÖSTE ÜBUNGEN - DUDAS - 2025

Die kreisförmigen Permutationen sind verschiedene Arten von Gruppierungen aller Elemente einer Menge, wenn sie in Kreisen angeordnet werden sollen . Bei dieser Art der Permutation spielt die Reihenfolge eine Rolle und die Elemente werden nicht wiederholt.

Angenommen, Sie möchten die Anzahl der verschiedenen Ziffernfelder eins bis vier kennen und jede Zahl an einem der Eckpunkte einer Raute platzieren. Dies wären insgesamt 6 Vereinbarungen:

Es sollte nicht verwechselt werden, dass sich die Nummer eins in allen Fällen als feste Position in der oberen Position der Raute befindet. Kreispermutationen werden durch die Drehung des Arrays nicht verändert. Das Folgende ist eine einzelne oder dieselbe Permutation:

Demo und Formeln

Im Beispiel der verschiedenen 4-stelligen kreisförmigen Arrays an den Eckpunkten einer Raute kann die Anzahl der Arrays (6) wie folgt ermittelt werden:

1- Jede der vier Ziffern wird als Startpunkt an einem der Scheitelpunkte verwendet und rückt zum nächsten Scheitelpunkt vor. (Es spielt keine Rolle, ob es im oder gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird)

2- Es gibt noch 3 Optionen, um den zweiten Scheitelpunkt auszuwählen, dann gibt es 2 Optionen, um den dritten Scheitelpunkt auszuwählen, und natürlich gibt es nur eine Auswahloption für den vierten Scheitelpunkt.

3- Somit wird die Anzahl von kreisförmigen Permutationen, die mit (4 - 1) P (4 - 1) bezeichnet sind, durch das Produkt der Auswahloptionen in jeder Position erhalten:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 verschiedene 4-stellige kreisförmige Arrays.

Im Allgemeinen beträgt die Anzahl der kreisförmigen Permutationen, die mit allen n Elementen einer Menge erreicht werden können:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Beachten Sie, dass (n - 1)! Es ist als n-Fakultät bekannt und verkürzt das Produkt aller Zahlen von der Zahl (n - 1) bis einschließlich der Zahl eins.

Beispiele

Beispiel 1

Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben 6 Personen, an einem runden Tisch zu sitzen?

Sie möchten herausfinden, auf welche Weise 6 Personen an einem runden Tisch sitzen können.

Anzahl der Sitzmöglichkeiten = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Anzahl der Sitzmöglichkeiten = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschiedene Möglichkeiten

Beispiel 2

Wie viele verschiedene Möglichkeiten haben 5 Personen, sich an den Eckpunkten eines Fünfecks zu befinden?

Es wird nach der Anzahl der Möglichkeiten gesucht, wie 5 Personen an jedem der Eckpunkte eines Fünfecks lokalisiert werden können.

Anzahl der zu lokalisierenden Wege = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Anzahl der zu lokalisierenden Wege = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschiedene Wege

Gelöste Übungen

- Übung 1

Ein Juwelier erwirbt 12 verschiedene Edelsteine, um sie in die Stunden einer Uhr zu legen, die er für das königliche Haus eines europäischen Landes vorbereitet.

a) Auf wie viele verschiedene Arten muss er die Steine ​​auf der Uhr anordnen?

b) Wie viele verschiedene Formen hat es, wenn der Stein, der bis 12 Uhr geht, einzigartig ist?

c) Wie viele verschiedene Formen, wenn der Stein um 12 Uhr einzigartig ist und die Steine ​​an den anderen drei Kardinalpunkten 3, 6 und 9 Uhr; Gibt es drei bestimmte Steine, die ausgetauscht werden können, und der Rest der Stunden wird vom Rest der Steine ​​zugewiesen?

Lösungen

a) Die Anzahl der Möglichkeiten, alle Steine ​​am Umfang der Uhr anzuordnen, wird angefordert. das heißt, die Anzahl der kreisförmigen Anordnungen, an denen alle verfügbaren Steine ​​beteiligt sind.

Anzahl der Anordnungen auf der Uhr = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Anzahl der Korrekturen auf der Uhr = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Anordnungen auf der Uhr = 39976800 verschiedene Formen

b) Er fragt sich, wie viele verschiedene Arten der Bestellung es gibt, da er weiß, dass der Stein am 12-Uhr-Griff einzigartig und fest ist. das heißt, die Anzahl der kreisförmigen Anordnungen, an denen die verbleibenden 11 Steine ​​beteiligt sind.

Anzahl der Anordnungen auf der Uhr = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Anzahl der Korrekturen auf der Uhr = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Arrangements auf der Uhr = 3.628.800 verschiedene Formen

c) Schließlich wird nach der Anzahl der Möglichkeiten gesucht, alle Steine ​​zu bestellen, mit Ausnahme des 12-Uhr-Steins, der fixiert ist, der 3-, 6- und 9-Steine, denen 3 Steine ​​zugewiesen werden müssen. das heißt, 3! Anordnungsmöglichkeiten und die Anzahl der kreisförmigen Anordnungen mit den verbleibenden 8 Steinen.

Anzahl der Fixes in der Uhr = 3! * = 3! * (8–1)!

Anzahl der Anordnungen in der Uhr = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Anzahl der Anordnungen auf der Uhr = 241920 verschiedene Formen

- Übung 2

Der Lenkungsausschuss eines Unternehmens besteht aus 8 Mitgliedern, die sich an einem ovalen Tisch treffen.

a) Wie viele verschiedene Formen der Anordnung am Tisch hat der Ausschuss?

b) Angenommen, der Vorsitzende sitzt in einer Ausschussvereinbarung an der Spitze des Tisches. Wie viele verschiedene Formen der Vereinbarung hat der Rest des Ausschusses?

c) Angenommen, der Vizepräsident und der Sekretär sitzen in jeder Ausschussvereinbarung zu beiden Seiten des Präsidenten. Wie viele verschiedene Formen der Vereinbarung hat der Rest des Ausschusses?

Lösungen

a) Wir wollen die verschiedenen Möglichkeiten finden, um die 12 Mitglieder des Komitees um den ovalen Tisch herum anzuordnen.

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 39976800 verschiedene Formen

b) Da sich der Ausschussvorsitzende in einer festen Position befindet, wird nach der Anzahl der Möglichkeiten gesucht, die verbleibenden 11 Ausschussmitglieder am ovalen Tisch zu ordnen.

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 3.628.800 verschiedene Formen

c) Der Präsident befindet sich in einer festen Position und an den Seiten befinden sich der Vizepräsident und der Sekretär mit zwei Möglichkeiten der Anordnung: Vizepräsident rechts und Sekretär links oder Vizepräsident links und Sekretär rechts. Dann möchten Sie die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten finden, die verbleibenden 9 Mitglieder des Ausschusses am ovalen Tisch zu ordnen und mit den beiden Arten von Vereinbarungen zu multiplizieren, die der Vizepräsident und der Sekretär getroffen haben.

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 2 * = 2 *

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Anzahl der Ausschussvereinbarungen = 80640 verschiedene Formen

Verweise

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4. Spiegel, M.; Stephens, L. (2008). Statistiken. Vierte Ausgabe. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Wahrscheinlichkeit & Statistik für Ingenieure & Wissenschaftler. Achte Ausgabe. Pearson Education International Prentice Hall.
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7. Wikipedia. (2019). Permutation. Von en.wikipedia.org wiederhergestellt.