HOMOSKEDASTIZITÄT: WAS ES IST, BEDEUTUNG UND BEISPIELE - DUDAS - 2025

Die Homoskedastizität in einem prädiktiven statistischen Modell tritt auf, wenn alle Datengruppen einer oder mehrerer Beobachtungen, das Varianzmuster (oder das unabhängige Muster) in Bezug auf die erklärenden Variablen konstant bleiben.

Ein Regressionsmodell kann homoskedastisch sein oder nicht. In diesem Fall sprechen wir von Heteroskedastizität.

Abbildung 1. Fünf Datensätze und Regressionsanpassung des Satzes. Die Varianz in Bezug auf den vorhergesagten Wert ist in jeder Gruppe gleich. (upav-biblioteca.org)

Ein statistisches Regressionsmodell mehrerer unabhängiger Variablen wird nur dann als homoskedastisch bezeichnet, wenn die Varianz des Fehlers der vorhergesagten Variablen (oder die Standardabweichung der abhängigen Variablen) für verschiedene Wertegruppen der erklärenden oder unabhängigen Variablen einheitlich bleibt.

In den fünf Datengruppen in Abbildung 1 wurde die Varianz in jeder Gruppe in Bezug auf den durch die Regression geschätzten Wert berechnet, was dazu führte, dass sie in jeder Gruppe gleich war. Es wird weiterhin angenommen, dass die Daten der Normalverteilung folgen.

Auf grafischer Ebene bedeutet dies, dass die Punkte gleichmäßig um den durch die Regressionsanpassung vorhergesagten Wert verstreut oder verstreut sind und dass das Regressionsmodell den gleichen Fehler und die gleiche Gültigkeit für den Bereich der erklärenden Variablen aufweist.

Bedeutung der Homoskedastizität

Um die Bedeutung der Homoskedastizität in der prädiktiven Statistik zu veranschaulichen, muss das entgegengesetzte Phänomen, die Heteroskedastizität, gegenübergestellt werden.

Homoskedastizität versus Heteroskedastizität

Im Fall von Abbildung 1, in der Homoskedastizität vorliegt, gilt Folgendes:

Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ …… Var ((y4-Y4); X4)

Wo Var ((yi-Yi); Xi) die Varianz darstellt, repräsentiert das Paar (xi, yi) Daten aus Gruppe i, während Yi der Wert ist, der durch die Regression für den Mittelwert Xi der Gruppe vorhergesagt wird. Die Varianz der n Daten aus Gruppe i wird wie folgt berechnet:

Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij-Yi) ^ 2 / n

Im Gegenteil, wenn Heteroskedastizität auftritt, ist das Regressionsmodell möglicherweise nicht für die gesamte Region gültig, in der es berechnet wurde. Abbildung 2 zeigt ein Beispiel für diese Situation.

Abbildung 2. Datengruppe, die die Heteroskedastizität zeigt. (Eigene Ausarbeitung)

Abbildung 2 zeigt drei Datengruppen und die Anpassung der Menge unter Verwendung einer linearen Regression. Es ist zu beachten, dass die Daten in der zweiten und dritten Gruppe stärker verteilt sind als in der ersten Gruppe. Das Diagramm in Abbildung 2 zeigt auch den Mittelwert jeder Gruppe und ihren Fehlerbalken ± σ mit der σ-Standardabweichung jeder Datengruppe. Es ist zu beachten, dass die Standardabweichung σ die Quadratwurzel der Varianz ist.

Es ist klar, dass sich im Fall der Heteroskedastizität der Regressionsschätzungsfehler im Wertebereich der erklärenden oder unabhängigen Variablen ändert, und in den Intervallen, in denen dieser Fehler sehr groß ist, ist die Regressionsvorhersage unzuverlässig oder unzutreffend.

In einem Regressionsmodell müssen die Fehler oder Residuen (und -Y) mit gleicher Varianz (σ ^ 2) über das Werteintervall der unabhängigen Variablen verteilt werden. Aus diesem Grund muss ein gutes Regressionsmodell (linear oder nichtlinear) den Homoskedastizitätstest bestehen.

Homoskedastizitätstests

Die in Abbildung 3 gezeigten Punkte entsprechen den Daten einer Studie, die nach einem Zusammenhang zwischen den Preisen (in Dollar) der Häuser in Abhängigkeit von der Größe oder Fläche in Quadratmetern sucht.

Das erste zu testende Modell ist das einer linearen Regression. Zunächst wird angemerkt, dass der Bestimmungskoeffizient R ^ 2 der Anpassung ziemlich hoch ist (91%), so dass angenommen werden kann, dass die Anpassung zufriedenstellend ist.

Es können jedoch zwei Bereiche klar vom Anpassungsdiagramm unterschieden werden. Einer von ihnen, der rechts in einem Oval eingeschlossen, erfüllt Homoskedastizität, während der Bereich links keine Homoskedastizität aufweist.

Dies bedeutet, dass die Vorhersage des Regressionsmodells im Bereich von 1800 m ^ 2 bis 4800 m ^ 2 angemessen und zuverlässig ist, außerhalb dieser Region jedoch sehr unzureichend. In der heteroskedastischen Zone ist nicht nur der Fehler sehr groß, sondern die Daten scheinen auch einem anderen Trend zu folgen als dem vom linearen Regressionsmodell vorgeschlagenen.

Abbildung 3. Immobilienpreise im Verhältnis zur Fläche und Vorhersagemodell durch lineare Regression, wobei Homoskedastizitäts- und Heteroskedastizitätszonen dargestellt sind. (Eigene Ausarbeitung)

Das Streudiagramm der Daten ist der einfachste und visuellste Test für ihre Homoskedastizität. In Fällen, in denen es nicht so offensichtlich ist wie in dem in Abbildung 3 gezeigten Beispiel, ist es jedoch erforderlich, auf Diagramme mit Hilfsvariablen zurückzugreifen.

Standardisierte Variablen

Um die Bereiche zu trennen, in denen Homoskedastizität erfüllt ist und in denen dies nicht der Fall ist, werden die standardisierten Variablen ZRes und ZPred eingeführt:

ZRes = Abs (y - Y) / σ

ZPred = Y / σ

Es ist zu beachten, dass diese Variablen vom angewandten Regressionsmodell abhängen, da Y der Wert der Regressionsvorhersage ist. Unten ist das Streudiagramm ZRes gegen ZPred für dasselbe Beispiel:

Abbildung 4. Es ist zu beachten, dass in der Homoskedastizitätszone die ZRes im Vorhersagebereich einheitlich und klein bleiben (eigene Ausarbeitung).

In der Grafik in Abbildung 4 mit den standardisierten Variablen ist der Bereich, in dem der Restfehler klein und gleichmäßig ist, klar von dem Bereich getrennt, in dem er nicht vorhanden ist. In der ersten Zone ist die Homoskedastizität erfüllt, während in dem Bereich, in dem der Restfehler sehr variabel und groß ist, die Heteroskedastizität erfüllt ist.

Die Regressionsanpassung wird auf dieselbe Datengruppe in Abbildung 3 angewendet. In diesem Fall ist die Anpassung nicht linear, da das verwendete Modell eine potenzielle Funktion enthält. Das Ergebnis ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Abbildung 5. Neue Zonen der Homoskedastizität und Heteroskedastizität in Daten passen zu einem nichtlinearen Regressionsmodell. (Eigene Ausarbeitung).

In der Grafik von 5 sollten die homoskedastischen und heteroskedastischen Bereiche klar angegeben werden. Es sollte auch beachtet werden, dass diese Zonen in Bezug auf diejenigen ausgetauscht wurden, die im linearen Anpassungsmodell gebildet wurden.

In der Grafik von 5 ist ersichtlich, dass das Modell selbst bei einem ziemlich hohen Bestimmungskoeffizienten der Anpassung (93,5%) nicht für das gesamte Intervall der erklärenden Variablen geeignet ist, da die Daten für Werte vorliegen mehr als 2000 m ^ 2 weisen eine Heteroskedastizität auf.

Nichtgrafische Tests der Homoskedastizität

Einer der nicht grafischen Tests, mit denen am häufigsten überprüft wird, ob die Homoskedastizität erreicht ist oder nicht, ist der Breusch-Pagan-Test.

Nicht alle Details dieses Tests werden in diesem Artikel angegeben, aber seine grundlegenden Eigenschaften und die Schritte desselben werden grob umrissen:

1. Das Regressionsmodell wird auf die n Daten angewendet und die Varianz derselben wird in Bezug auf den durch das Modell σ ^ 2 = ∑j (yj - Y) ^ 2 / n geschätzten Wert berechnet.
2. Eine neue Variable ist definiert als ε = ((yj - Y) ^ 2) / (σ ^ 2)
3. Das gleiche Regressionsmodell wird auf die neue Variable angewendet und ihre neuen Regressionsparameter werden berechnet.
4. Der kritische Wert Chi Quadrat (χ ^ 2) wird bestimmt, dies ist die Hälfte der Summe der Quadrate neuer Residuen in der Variablen ε.
5. Die Chi-Quadrat-Verteilungstabelle wird unter Berücksichtigung des Signifikanzniveaus (normalerweise 5%) und der Anzahl der Freiheitsgrade (Anzahl der Regressionsvariablen minus der Einheit) auf der x-Achse der Tabelle verwendet, um den Wert von zu erhalten Die Tafel.
6. Der in Schritt 3 erhaltene kritische Wert wird mit dem in der Tabelle (χ ^ 2) gefundenen Wert verglichen.
7. Wenn der kritische Wert unter dem der Tabelle liegt, haben wir die Nullhypothese: Es gibt Homoskedastizität
8. Wenn der kritische Wert über dem der Tabelle liegt, haben wir die alternative Hypothese: Es gibt keine Homoskedastizität.

Die meisten statistischen Softwarepakete wie SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic und einige andere enthalten den Breusch-Pagan-Homoskedastizitätstest. Ein weiterer Test zur Überprüfung der Gleichmäßigkeit der Varianz ist der Levene-Test.

Verweise

1. Box, Hunter & Hunter. (1988) Statistik für Forscher. Ich habe die Redaktion umgekehrt.
2. Johnston, J. (1989). Ökonometrie-Methoden, Vicens-Viv-Redakteure.
3. Murillo und González (2000). Ökonometrie-Handbuch. Universität von Las Palmas auf Gran Canaria. Wiederhergestellt von: ulpgc.es.
4. Wikipedia. Homoskedastizität. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Homoskedastizität. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com