MATHEMATISCHE ERWARTUNG: FORMEL, EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, ÜBUNG - DUDAS - 2025

Die mathematische Erwartung oder der erwartete Wert der Zufallsvariablen X wird als E (X) bezeichnet und als die Summe des Produkts zwischen der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses und dem Wert dieses Ereignisses definiert.

In mathematischer Form wird es wie folgt ausgedrückt:

Abbildung 1. Mathematische Erwartungen sind an der Börse und in Versicherungen weit verbreitet. Quelle: Pixabay.

Wobei x _i der Wert des Ereignisses und P (x _i ) seine Eintrittswahrscheinlichkeit ist. Die Summation erstreckt sich über alle Werte, die X zulässt. Und wenn diese endlich sind, konvergiert die angegebene Summe gegen den Wert E (X), aber wenn die Summe nicht konvergiert, hat die Variable einfach keinen erwarteten Wert.

Wenn es sich um eine stetige Variable x handelt, kann die Variable unendliche Werte haben und die Integrale ersetzen die Summierungen:

Hier repräsentiert f (x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Im Allgemeinen entspricht die mathematische Erwartung (die ein gewichteter Durchschnitt ist) nicht dem arithmetischen Mittel oder Durchschnitt, es sei denn, es handelt sich um diskrete Verteilungen, bei denen jedes Ereignis gleich wahrscheinlich ist. Dann und nur dann:

Wobei n die Anzahl der möglichen Werte ist.

Das Konzept ist sehr nützlich auf Finanzmärkten und Versicherungsunternehmen, wo häufig Gewissheiten fehlen, aber Wahrscheinlichkeiten bestehen.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung

Unter den wichtigsten Eigenschaften der mathematischen Erwartung fallen folgende auf:

- Vorzeichen: Wenn X positiv ist, ist auch E (X) positiv.

- Erwarteter Wert einer Konstante : Der erwartete Wert einer reellen Konstante k ist die Konstante.

- Linearität in der Summe: Die Erwartung einer Zufallsvariablen, die wiederum die Summe zweier Variablen X und Y ist, ist die Summe der Erwartungen.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Multiplikation mit einer Konstanten : Wenn die Zufallsvariable die Form kX hat, wobei k eine Konstante (eine reelle Zahl) ist, wird sie außerhalb des erwarteten Werts ausgegeben.

- Erwarteter Wert des Produkts und Unabhängigkeit zwischen Variablen : Wenn eine Zufallsvariable das Produkt der unabhängigen Zufallsvariablen X und Y ist, ist der erwartete Wert des Produkts das Produkt der erwarteten Werte.

Im Allgemeinen, wenn Y = g (X):

- Reihenfolge im erwarteten Wert: Wenn X ≤ Y, dann:

Da gibt es die erwarteten Werte von jedem von ihnen.

Die mathematische Erwartung beim Wetten

Als der berühmte Astronom Christian Huygens (1629-1695) den Himmel nicht beobachtete, widmete er sich unter anderem der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit in Glücksspielen. Er war es, der das Konzept der mathematischen Hoffnung in seiner Arbeit von 1656 mit dem Titel: Argumentation über Glücksspiele einführte.

Abbildung 2. Christiaan Huygens (1629-1625) war ein brillanter und vielseitiger Wissenschaftler, dem wir das Konzept des erwarteten Werts verdanken.

Huygens stellte fest, dass Wetten basierend auf dem erwarteten Wert auf drei Arten klassifiziert werden können:

-Spiele mit Vorteil: E (X)> 0

- Faire Wetten: E (X) = 0

-Spiel im Nachteil: E (X) <0

Das Problem ist, dass in einem Glücksspiel die mathematische Erwartung nicht immer einfach zu berechnen ist. Und wenn Sie können, ist das Ergebnis manchmal enttäuschend für diejenigen, die sich fragen, ob sie wetten sollen oder nicht.

Versuchen wir eine einfache Wette: Kopf oder Zahl und der Verlierer zahlt einen Kaffee im Wert von 1 USD. Was ist der erwartete Wert dieser Wette?

Nun, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kopf gerollt wird, beträgt ½, was einem Schwanz entspricht. Die Zufallsvariable ist, 1 $ zu gewinnen oder 1 $ zu verlieren, der Gewinn wird mit + Vorzeichen und der Verlust durch Vorzeichen - bezeichnet.

Wir organisieren die Informationen in einer Tabelle:

Wir multiplizieren die Werte der Spalten: 1. ½ = ½ und (-1). ½ = -½ und schließlich werden die Ergebnisse addiert. Die Summe ist 0 und es ist ein faires Spiel, bei dem erwartet wird, dass die Teilnehmer weder gewinnen noch verlieren.

Französisches Roulette und Lotterie sind Handicap-Spiele, bei denen die meisten Wetter verlieren. Später gibt es eine etwas komplexere Wette im Abschnitt über gelöste Übungen.

Beispiele

Hier sind einige einfache Beispiele, bei denen das Konzept der mathematischen Erwartung intuitiv ist und das Konzept verdeutlicht:

Beispiel 1

Wir werden mit einem ehrlichen Würfel beginnen. Was ist der erwartete Wert des Starts? Wenn der Würfel ehrlich ist und 6 Köpfe hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert (X = 1, 2, 3… 6) würfelt, 1/6, wie folgt:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Abbildung 3. Beim Würfeln eines ehrlichen Würfels ist der erwartete Wert kein möglicher Wert. Quelle: Pixabay.

Der erwartete Wert entspricht in diesem Fall dem Durchschnitt, da jedes Gesicht die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, herauszukommen. Aber E (X) ist kein möglicher Wert, da keine Köpfe 3,5 wert sind. Dies ist in einigen Distributionen durchaus möglich, obwohl in diesem Fall das Ergebnis dem Wetter nicht viel hilft.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel mit dem Werfen von zwei Münzen an.

Beispiel 2

Zwei ehrliche Münzen werden in die Luft geworfen und wir definieren die Zufallsvariable X als die Anzahl der Köpfe, die gewürfelt werden. Folgende Ereignisse können auftreten:

-Keine Köpfe kommen hoch: 0 Köpfe, was 2 Schwänzen entspricht.

-Es kommt 1 Kopf und 1 Stempel oder Schwanz heraus.

- Zwei Gesichter kommen heraus.

Sei C ein Kopf und T ein Siegel, der Probenraum, der diese Ereignisse beschreibt, ist der folgende:

S _m = {Siegel-Siegel; Siegelgesicht; Gesichtsversiegelung; Gesicht-Gesicht} = {TT, TC, CT, CC}

Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse sind:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

Die Tabelle wird mit den erhaltenen Werten erstellt:

Gemäß der zu Beginn gegebenen Definition wird die mathematische Erwartung wie folgt berechnet:

Werte ersetzen:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Dieses Ergebnis wird wie folgt interpretiert: Wenn eine Person genug Zeit hat, um eine große Anzahl von Experimenten durchzuführen, indem sie die beiden Münzen wirft, wird von ihr erwartet, dass sie bei jedem Wurf einen Kopf bekommt.

Wir wissen jedoch, dass Veröffentlichungen mit 2 Labels durchaus möglich sind.

Übung gelöst

Beim Werfen von zwei ehrlichen Münzen wird die folgende Wette abgeschlossen: Wenn 2 Köpfe herauskommen, gewinnen Sie 3 $, wenn 1 Kopf herauskommt, gewinnen Sie 1 $, aber wenn zwei Briefmarken herauskommen, müssen Sie 5 $ bezahlen. Berechnen Sie den erwarteten Gewinn der Wette.

Abbildung 4. Abhängig von der Wette ändert sich die mathematische Erwartung, wenn zwei ehrliche Münzen geworfen werden. Quelle: Pixabay.

Lösung

Die Zufallsvariable X ist der Wert, den das Geld in der Wette annimmt, und die Wahrscheinlichkeiten wurden im vorherigen Beispiel berechnet. Daher lautet die Tabelle der Wette:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Da der erwartete Wert 0 ist, ist dies ein faires Spiel. Daher wird hier erwartet, dass der Wetter nicht gewinnt und auch nicht verliert. Die Wettbeträge können jedoch geändert werden, um die Wette zu einem Handicap-Spiel oder einem Handicap-Spiel zu machen.

Verweise

1. Brase, C. 2009. Verständliche Statistik. Houghton Mifflin.
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3. Statistik LibreTexts. Erwarteter Wert diskreter Zufallsvariablen. Wiederhergestellt von: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementare Statistik. 11 .. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Wahrscheinlichkeit und Statistik für Wissenschaft und Technik. 8 .. Auflage. Pearson Ausbildung.