VEKTOREN IM RAUM: WIE MAN GRAFISCH DARSTELLT, ANWENDUNGEN, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Ein Vektor im Raum ist alles, was durch ein Koordinatensystem dargestellt wird, das durch x, y und z gegeben ist. Meistens ist die xy-Ebene die horizontale Oberflächenebene und die z-Achse repräsentiert die Höhe (oder Tiefe).

Die in Abbildung 1 gezeigten kartesischen Koordinatenachsen teilen den Raum in 8 Bereiche, die als Oktanten bezeichnet werden, analog dazu, wie die x-y-Achsen die Ebene in 4 Quadranten teilen. Wir werden dann 1. Oktant, 2. Oktant und so weiter haben.

Abbildung 1. Ein Vektor im Raum. Quelle: selbst gemacht.

1 enthält eine Darstellung eines Vektors v im Raum. Eine gewisse Perspektive ist erforderlich, um die Illusion von drei Dimensionen in der Ebene des Bildschirms zu erzeugen, was durch Zeichnen einer Schrägansicht erreicht wird.

Um einen 3D-Vektor grafisch darzustellen, müssen die gepunkteten Linien verwendet werden, die auf dem Gitter die Koordinaten der Projektion oder des "Schattens" von v auf der xy-Oberfläche bestimmen . Diese Projektion beginnt bei O und endet am grünen Punkt.

Dort müssen Sie entlang der Vertikalen bis zur erforderlichen Höhe (oder Tiefe) gemäß dem Wert von z fortfahren, bis Sie P erreichen. Der Vektor wird von O bis P gezeichnet, was im Beispiel im 1. Oktanten liegt.

Anwendungen

Vektoren im Raum sind in der Mechanik und anderen Bereichen der Physik und Technik weit verbreitet, da die uns umgebenden Strukturen eine dreidimensionale Geometrie erfordern.

Positionsvektoren im Raum werden verwendet, um Objekte in Bezug auf einen Referenzpunkt zu positionieren, der als ODER-Ursprung bezeichnet wird. Daher sind sie auch notwendige Werkzeuge in der Navigation, aber das ist noch nicht alles.

Kräfte, die auf Strukturen wie Bolzen, Klammern, Kabel, Streben usw. wirken, sind von Natur aus vektoriell und räumlich ausgerichtet. Um seine Wirkung zu kennen, ist es notwendig, seine Adresse (und auch seinen Anwendungsort) zu kennen.

Und häufig ist die Richtung einer Kraft bekannt, indem man zwei Punkte im Raum kennt, die zu ihrer Wirkungslinie gehören. Auf diese Weise ist die Kraft:

F = F u

Wobei F die Größe oder Größe der Kraft ist und u der Einheitsvektor (Modul 1) ist, der entlang der Wirkungslinie F gerichtet ist .

Notation und 3D-Vektordarstellungen

Bevor wir einige Beispiele lösen, werden wir kurz auf die 3D-Vektornotation eingehen.

In dem Beispiel in 1 hat der Vektor v, dessen Ursprungspunkt mit dem Ursprung O übereinstimmt und dessen Ende der Punkt P ist, positive xyz-Koordinaten, während die y-Koordinate negativ ist. Diese Koordinaten sind: x ₁ , y ₁ , z ₁ , die genau die Koordinaten von P sind.

Wenn wir also einen Vektor haben, der mit dem Ursprung verknüpft ist, dessen Startpunkt mit O übereinstimmt, ist es sehr einfach, seine Koordinaten anzugeben, die die des Extrempunkts oder P sind. Um zwischen einem Punkt und einem Vektor zu unterscheiden, verwenden wir die letzten fetten Buchstaben und Klammern wie folgt:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Während der Punkt P mit Klammern bezeichnet ist:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Eine andere Darstellung verwendet die Einheitsvektoren i , j und k , die die drei Raumrichtungen auf der x-, y- und z-Achse definieren.

Diese Vektoren stehen senkrecht zueinander und bilden eine orthonormale Basis (siehe Abbildung 2). Dies bedeutet, dass ein 3D-Vektor wie folgt geschrieben werden kann:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Winkel und Regisseur Cosines eines Vektors

Figur 2 zeigt auch der Winkel & ggr Direktors ₁ , γ ₂ und γ ₃ , daß der Vektor V macht die jeweils mit den X-, Y- und Z - Achsen. Wenn man diese Winkel und die Größe des Vektors kennt, ist er vollständig bestimmt. Darüber hinaus erfüllen die Kosinusse der Direktorwinkel die folgende Beziehung:

(cos & ggr; ₁ ) ² + (cos & ggr; ₂ ) ² + (cos & ggr; ₃ ) ² = 1

Abbildung 2. Die Einheitsvektoren i, j und k bestimmen die 3 Vorzugsrichtungen des Raums. Quelle: selbst gemacht.

Gelöste Übungen

-Übung 1

In 2 sind die Winkel & ggr ; ₁ , & ggr ; ₂ und & ggr; ₃ , die der Vektor v des Moduls 50 mit den Koordinatenachsen bildet, jeweils: 75,0º, 60,0º und 34,3º. Finden Sie die kartesischen Komponenten dieses Vektors und stellen Sie sie in Form der Einheitsvektoren i , j und k dar .

Lösung

Die Projektion des Vektors v auf die x-Achse beträgt v _x = 50. cos 75º = 12.941. In gleicher Weise beträgt die Projektion von v auf der y-Achse v _y = 50 cos 60 º = 25 und schließlich auf der z-Achse v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Jetzt kann v ausgedrückt werden als:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Übung 2

Finden Sie die Spannungen in jedem der Kabel, die den Löffel halten, in der Abbildung im Gleichgewicht, wenn sein Gewicht 30 N beträgt.

Abbildung 3. Spannungsdiagramm für Übung 2.

Lösung

Auf dem Eimer zeigt das Freikörperdiagramm, dass T _D (grün) das Gewicht W (gelb) ausgleicht , daher T _D = W = 30 N.

Am Knoten ist der Vektor T _D vertikal nach unten gerichtet, dann:

T _D = 30 (- k ) N.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um die verbleibenden Spannungen zu ermitteln:

Schritt 1: Finden Sie die Koordinaten aller Punkte

A = (4,5,0,3) (A liegt in der Ebene der Wand xz)

B = (1,5,0,0) (B liegt auf der x-Achse)

C = (0, 2,5, 3) (C liegt in der Ebene der Wand und z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D liegt in der horizontalen xy-Ebene)

Schritt 2: Finden Sie die Vektoren in jeder Richtung, indem Sie die Koordinaten des Endes und des Anfangs subtrahieren

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; einer; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Schritt 3: Berechnen Sie Module und Einheitsvektoren

Ein Einheitsvektor wird mittels des Ausdrucks erhalten: u = r / r, wobei r (fett) der Vektor und r (fett) das Modul des Vektors ist.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; einer; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -einer; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Schritt 4: Drücken Sie alle Spannungen als Vektoren aus

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -einer; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Schritt 5: Wenden Sie die statische Gleichgewichtsbedingung an und lösen Sie das Gleichungssystem

Schließlich wird die Bedingung des statischen Gleichgewichts auf den Löffel angewendet, so dass die Vektorsumme aller Kräfte auf den Knoten Null ist:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Da sich die Spannungen im Raum befinden, ergibt sich für jede Komponente (x, y und z) der Spannungen ein System von drei Gleichungen.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC + 0 T _DB - 30 = 0

Die Lösung lautet: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N.

Verweise

1. Bedford, 2000. A. Technische Mechanik: Statik. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Reihe: Physik für Naturwissenschaften und Technik. Band 1. Kinematik 31-68.
3. Körperlich. Modul 8: Vektoren. Wiederhergestellt von: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanik für Ingenieure. Statisch 6. Auflage. Continental Verlag. 15-53.
5. Vektoradditionsrechner. Wiederhergestellt von: 1728.org