RESULTIERENDER VEKTOR: BERECHNUNG, BEISPIELE, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Der resultierende Vektor ist derjenige, der durch eine Operation mit Vektoren erhalten wird, deren Ergebnis auch ein Vektor ist. Normalerweise ist diese Operation die Summe von zwei oder mehr Vektoren, mit denen ein Vektor erhalten wird, dessen Wirkung äquivalent ist.

Auf diese Weise werden Vektoren wie die resultierende Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Kraft erhalten. Zum Beispiel, wenn mehrere Kräfte F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… auf einen Körper wirken . Die Vektorsumme aller dieser Kräfte ist gleich der Nettokraft (der Resultierenden), die mathematisch wie folgt ausgedrückt wird:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R oder F _N.

Abbildung 1. Das Gewicht des Schnees wird auf dem Dach verteilt und seine Wirkung kann durch eine einzige resultierende Kraft ersetzt werden, die an der entsprechenden Stelle ausgeübt wird. Quelle: Pixabay.

Der resultierende Vektor, ob es sich um Kräfte oder eine andere Vektorgröße handelt, wird durch Anwenden der Regeln der Vektoraddition ermittelt. Da die Vektoren Richtung und Sinn sowie einen numerischen Wert haben, reicht es nicht aus, die Module hinzuzufügen, um den resultierenden Vektor zu erhalten.

Dies gilt nur für den Fall, dass die beteiligten Vektoren in die gleiche Richtung weisen (siehe Beispiele). Andernfalls müssen Vektorsummenmethoden verwendet werden, die je nach Fall geometrisch oder analytisch sein können.

Beispiele

Geometrische Methoden zum Auffinden des resultierenden Vektors sind die Traversenmethode und die Parallelogrammmethode.

Für analytische Methoden gibt es die Komponentenmethode, mit der der aus einem beliebigen Vektorsystem resultierende Vektor gefunden werden kann, vorausgesetzt, wir haben seine kartesischen Komponenten.

Geometrische Methoden zum Hinzufügen von zwei Vektoren

Angenommen, die Vektoren u und v (wir bezeichnen sie fett, um sie von den Skalaren zu unterscheiden). In Abbildung 2a) haben wir sie im Flugzeug. In Abbildung 2 b) wurde es so in den Vektor v übersetzt, dass sein Ursprung mit dem Ende von u übereinstimmt . Der resultierende Vektor geht vom Ursprung des ersten ( u ) bis zur Spitze des letzten ( v ):

Abbildung 2. Der resultierende Vektor aus der grafischen Summe der Vektoren. Quelle: selbst gemacht.

Die resultierende Figur ist in diesem Fall ein Dreieck (ein Dreieck ist ein dreiseitiges Polygon). Wenn wir zwei Vektoren in derselben Richtung haben, ist die Vorgehensweise dieselbe: Platzieren Sie einen der Vektoren nach dem anderen und zeichnen Sie einen, der vom Ursprung oder Schwanz des ersten zur Spitze oder zum Ende des letzten geht.

Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der diese Prozedur ausgeführt wird, keine Rolle spielt, da die Summe der Vektoren kommutativ ist.

Beachten Sie auch, dass in diesem Fall das Modul (die Länge oder Größe) des resultierenden Vektors die Summe der Module der hinzugefügten Vektoren ist, im Gegensatz zum vorherigen Fall, in dem das Modul des resultierenden Vektors kleiner als die Summe der ist Teilnehmermodule.

Parallelogrammmethode

Diese Methode ist sehr geeignet, wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen müssen, deren Ursprungspunkte beispielsweise mit dem Ursprung eines xy-Koordinatensystems übereinstimmen. Angenommen, dies ist für unsere Vektoren u und v der Fall (Abbildung 3a):

Abbildung 3. Summe zweier Vektoren nach der Parallelogrammmethode mit dem resultierenden Vektor in Türkisblau. Quelle: selbst gemacht.

In Abbildung 3b) wurde mit Hilfe von gepunkteten Linien parallel zu u und v ein Parallelogramm erstellt . Der resultierende Vektor hat seinen Ursprung bei O und sein Ende an dem Punkt, an dem sich die gepunkteten Linien schneiden. Dieses Verfahren entspricht vollständig dem im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen.

Übungen

-Übung 1

Finden Sie anhand der folgenden Vektoren den resultierenden Vektor mithilfe der Traversenmethode.

Abbildung 4. Vektoren, um ihre Ergebnisse mithilfe der polygonalen Methode zu ermitteln. Übung 1. Quelle: eigene Ausarbeitung.

Lösung

Die Traversenmethode ist die erste der beobachteten Methoden. Denken Sie daran, dass die Summe der Vektoren kommutativ ist (die Reihenfolge der Addenden ändert nichts an der Summe), sodass Sie mit jedem der Vektoren beginnen können, z. B. u (Abbildung 5a) oder r (Abbildung 5b):

Abbildung 5. Summe der Vektoren mit der polygonalen Methode. Quelle: selbst gemacht.

Abbildung erhalten wird , ein Polygon und der resultierende Vektor (in blau) wird aufgerufen , R . Wenn Sie mit einem anderen Vektor beginnen, kann die gebildete Form unterschiedlich sein, wie im Beispiel gezeigt, aber der resultierende Vektor ist der gleiche.

Übung 2

In der folgenden Abbildung wissen wir, dass die Module der Vektoren u und v u = 3 beliebige Einheiten und v = 1,8 beliebige Einheiten sind. Der Winkel, den u mit der positiven x-Achse bildet, beträgt 45º, während v mit der y-Achse 60º bildet, wie in der Abbildung gezeigt. Finden Sie den resultierenden Vektor, die Größe und die Richtung.

Lösung

Im vorhergehenden Abschnitt wurde der resultierende Vektor unter Anwendung der Parallelogrammmethode (in der Abbildung in Türkis) gefunden.

Eine einfache Möglichkeit, den resultierenden Vektor analytisch zu finden, besteht darin, die Additionsvektoren in Form ihrer kartesischen Komponenten auszudrücken. Dies ist einfach, wenn Modul und Winkel bekannt sind, wie z. B. die Vektoren in diesem Beispiel:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Die Vektoren u und v sind Vektoren, die zur Ebene gehören und daher jeweils zwei Komponenten aufweisen. Der Vektor u befindet sich im ersten Quadranten und seine Komponenten sind positiv, während sich der Vektor v im vierten Quadranten befindet. seine x-Komponente ist positiv, aber seine Projektion auf die vertikale Achse fällt auf die negative y-Achse.

Berechnung der kartesischen Komponenten des resultierenden Vektors

Der resultierende Vektor wird durch algebraisches Addieren der jeweiligen x- und y-Komponenten gefunden, um ihre kartesischen Komponenten zu erhalten:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Sobald die kartesischen Komponenten spezifiziert wurden, ist der Vektor vollständig bekannt. Der resultierende Vektor kann mit der Notation in Klammern ausgedrückt werden:

R = <3,68; 1,22> beliebige Einheiten

Die Klammernotation wird verwendet, um einen Vektor von einem Punkt in der Ebene (oder im Raum) zu unterscheiden. Eine andere Möglichkeit, den resultierenden Vektor analytisch auszudrücken, besteht darin, die Einheitsvektoren i und j in der Ebene ( i , j und k im Raum) zu verwenden:

R = 3,68 i + 1,22 j beliebige Einheiten

Da beide Komponenten des resultierenden Vektors positiv sind, gehört der Vektor R zum ersten Quadranten, der bereits zuvor grafisch gesehen wurde.

Größe und Richtung des resultierenden Vektors

Die Kenntnis der kartesischen Komponenten wird die Größe der R durch den Satz des Pythagoras, berechnet , da die resultierenden Vektor R , zusammen mit seinen Komponenten R _x und R _und bildet ein rechtwinkliges Dreieck:

Größe oder Modul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Richtung q unter Verwendung der positiven x-Achse als Referenz: q = Arctan (R _y / R _x ) = Arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Verweise

1. Hinzufügen von Vektoren und Regeln. Abgerufen von: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Reihe: Physik für Naturwissenschaften und Technik. Band 1. Kinematik 31-68.
3. Körperlich. Modul 8: Vektoren. Wiederhergestellt von: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanik für Ingenieure. Statisch 6. Auflage. Continental Verlag. 15-53.
5. Vektoradditionsrechner. Abgerufen von: www.1728.org