NORMALER VEKTOR: BERECHNUNG UND BEISPIEL - KÖRPERLICH - 2025

Der Normalenvektor definiert die Richtung senkrecht zu einer betrachteten geometrischen Einheit, die beispielsweise durch eine Kurve, eine Ebene oder eine Oberfläche erfolgen kann.

Es ist ein sehr nützliches Konzept bei der Positionierung eines sich bewegenden Partikels oder einer Oberfläche im Raum. In der folgenden Grafik ist zu sehen, wie der Normalenvektor zu einer beliebigen Kurve C aussieht:

Abbildung 1. Eine Kurve C mit dem Vektor senkrecht zur Kurve am Punkt P. Quelle: Svjo

Betrachten Sie einen Punkt P auf Kurve C. Der Punkt kann ein sich bewegendes Teilchen darstellen, das sich entlang eines C-förmigen Pfades bewegt. Die Tangentenlinie zur Kurve am Punkt P ist rot gezeichnet.

Es ist zu beachten, dass der Vektor T an jedem Punkt tangential zu C ist, während der Vektor N senkrecht zu T ist und auf den Mittelpunkt eines imaginären Kreises zeigt, dessen Bogen ein Segment von C ist. Vektoren sind im gedruckten Text fett gedruckt, z unterscheiden sie von anderen Nicht-Vektor-Größen.

Der Vektor T gibt immer an, wohin sich das Teilchen bewegt, daher gibt er die Geschwindigkeit des Teilchens an. Andererseits zeigt der Vektor N immer in die Richtung, in die sich das Teilchen dreht, und zeigt auf diese Weise die Konkavität der Kurve C an.

Wie bekomme ich den normalen Vektor zu einer Ebene?

Der Normalvektor ist nicht notwendigerweise ein Einheitsvektor, dh ein Vektor, dessen Modul 1 ist, aber wenn ja, wird er ein normaler Einheitsvektor genannt.

Abbildung 2. Links eine Ebene P und die beiden Vektoren senkrecht zu dieser Ebene. Rechts die Einheitsvektoren in den drei Richtungen, die den Raum bestimmen. Quelle: Wikimedia Commons. Siehe Seite für Autor

In vielen Anwendungen ist es erforderlich, den Vektor normal zu einer Ebene und nicht zu einer Kurve zu kennen. Dieser Vektor zeigt die Ausrichtung der Ebene im Raum. Betrachten Sie zum Beispiel die Ebene P (gelb) der Figur:

Es gibt zwei Normalenvektoren zu dieser Ebene: n ₁ und n ₂ . Die Verwendung des einen oder anderen hängt von dem Kontext ab, in dem sich die Ebene befindet. Das Erhalten des Normalenvektors zu einer Ebene ist sehr einfach, wenn die Gleichung der Ebene bekannt ist:

Hier wird der Vektor N als senkrechte Einheitsvektoren i , j und k ausgedrückt , die entlang der drei Richtungen gerichtet sind, die den xyz-Raum bestimmen, siehe Abbildung 2 rechts.

Der normale Vektor aus dem Vektorprodukt

Ein sehr einfaches Verfahren zum Finden des normalen Vektors nutzt die Eigenschaften des Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren.

Bekanntlich bestimmen drei verschiedene Punkte, die nicht kollinear miteinander sind, eine Ebene P. Nun ist es möglich, zwei Vektoren u und v zu erhalten , die zu dieser Ebene mit diesen drei Punkten gehören.

Sobald die Vektoren erhalten sind, ist das Vektorprodukt u x v eine Operation, deren Ergebnis wiederum ein Vektor ist, der die Eigenschaft hat, senkrecht zu der durch u und v bestimmten Ebene zu sein .

Wenn man diesen Vektor kennt, wird er als N bezeichnet , und aus ihm kann die Gleichung der Ebene dank der im vorhergehenden Abschnitt angegebenen Gleichung bestimmt werden:

N = u x v

Die folgende Abbildung zeigt das beschriebene Verfahren:

Abbildung 3. Mit zwei Vektoren und ihrem Vektorprodukt oder Kreuz wird die Gleichung der Ebene bestimmt, die die beiden Vektoren enthält. Quelle: Wikimedia Commons. Kein maschinenlesbarer Autor angegeben. M.Romero Schmidtke vermutet (aufgrund von Urheberrechtsansprüchen).

Beispiel

Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A (2,1,3) bestimmt wird; B (0,1,1); C (4.2.1).

Lösung

Diese Übung veranschaulicht das oben beschriebene Verfahren. Durch 3 Punkte wird einer von ihnen als gemeinsamer Ursprung von zwei Vektoren ausgewählt, die zu der durch diese Punkte definierten Ebene gehören. Zum Beispiel wird Punkt A als Ursprung gesetzt und die Vektoren AB und AC werden konstruiert .

Der Vektor AB ist der Vektor, dessen Ursprung Punkt A und dessen Endpunkt Punkt B ist. Die Koordinaten des Vektors AB werden durch Subtrahieren der Koordinaten von B von den Koordinaten von A bestimmt:

Wir gehen auf die gleiche Weise vor, um den Vektor AC zu finden :

Berechnung des Vektorprodukts

Es gibt verschiedene Verfahren, um das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren zu finden. In diesem Beispiel wird eine mnemonische Prozedur verwendet, bei der anhand der folgenden Abbildung die Vektorprodukte zwischen den Einheitsvektoren i , j und k ermittelt werden:

Abbildung 4. Diagramm zur Bestimmung des Vektorprodukts zwischen den Einheitsvektoren. Quelle: selbst gemacht.

Zunächst ist zu beachten, dass die Vektorprodukte zwischen parallelen Vektoren null sind, daher:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

Und da das Vektorprodukt ein weiterer Vektor senkrecht zu den beteiligten Vektoren ist und sich in Richtung des roten Pfeils bewegt, haben wir:

Wenn Sie sich in die entgegengesetzte Richtung zum Pfeil bewegen müssen, fügen Sie ein Zeichen (-) hinzu:

Insgesamt ist es möglich, 9 Vektorprodukte mit den Einheitsvektoren i , j und k herzustellen , von denen 3 null sind.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) bis 2 ( i x j ) + 4 ( i x k ) + 0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) - 2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k - 4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Gleichung der Ebene

Der Vektor N wurde durch das zuvor berechnete Vektorprodukt bestimmt:

N = 2 i -8 j -2 k

Daher ist a = 2, b = -8, c = -2, die gesuchte Ebene ist:

Der Wert von d muss noch bestimmt werden. Dies ist einfach, wenn die Werte der verfügbaren Punkte A, B oder C in der Gleichung der Ebene eingesetzt werden. Wählen Sie zum Beispiel C:

x = 4; y = 2; z = 1

Überreste:

Kurz gesagt, die gesuchte Karte lautet:

Der neugierige Leser mag sich fragen, ob das gleiche Ergebnis erzielt worden wäre , wenn anstatt das zu tun AB x AC , es zu tun gewählt worden war AC x AB. Die Antwort lautet: Ja, die durch diese drei Punkte bestimmte Ebene ist eindeutig und weist zwei Normalvektoren auf, wie in Abbildung 2 dargestellt.

Für den als Ursprung der Vektoren ausgewählten Punkt gibt es kein Problem bei der Auswahl eines der beiden anderen.

Verweise

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2. Das Normale zu einem Flugzeug finden. Wiederhergestellt von: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Kalkül und analytische Geometrie. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Linien und Flugzeuge in R 3. Wiederhergestellt von: math.harvard.edu.
5. Normaler Vektor. Von mathworld.wolfram.com wiederhergestellt.