DIREKTORVEKTOR: LINIENGLEICHUNG, GELÖSTE ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Unter einem Direktorvektor wird einer verstanden , der die Richtung einer Linie entweder in der Ebene oder im Raum definiert. Daher kann ein zur Linie paralleler Vektor als Richtungsvektor davon betrachtet werden.

Dies ist möglich dank eines Axioms der euklidischen Geometrie, das besagt, dass zwei Punkte eine Linie definieren. Dann definiert das durch diese beiden Punkte gebildete orientierte Segment auch einen Direktorvektor dieser Linie.

Abbildung 1. Direktorvektor einer Linie. (Eigene Ausarbeitung)

Bei einem zur Linie (L) gehörenden Punkt P und einem gegebenen Direktorvektor u dieser Linie ist die Linie vollständig bestimmt.

Gleichung der Linie und des Direktorvektors

Abbildung 2. Gleichung von Linie und Direktorvektor. (Eigene Ausarbeitung)

Bei einem Punkt P der Koordinaten P: (Xo, I) und einem Vektor u- Direktor einer Linie (L) muss jeder Punkt Q der Koordinaten Q: (X, Y) erfüllen, dass der Vektor PQ parallel zu u ist. Diese letzte Bedingung ist garantiert, wenn PQ proportional zu u ist :

PQ = t⋅ u

im obigen Ausdruck ist t ein Parameter, der zu den reellen Zahlen gehört.

Wenn die kartesischen Komponenten von PQ und u geschrieben werden, wird die obige Gleichung wie folgt geschrieben:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Wenn die Komponenten der Vektorgleichheit ausgeglichen werden, wird das folgende Gleichungspaar erhalten:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrische Gleichung der Linie

Die X- und Y-Koordinaten eines Punktes, der zu der Linie (L) gehört, die durch einen Koordinatenpunkt (Xo, Yo) verläuft und parallel zum Direktorvektor u = (a, b) verläuft, werden durch Zuweisen reeller Werte zum variablen Parameter t: bestimmt.

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Beispiel 1

Um die Bedeutung der parametrischen Gleichung der Linie zu veranschaulichen, nehmen wir als Richtungsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt

P = (Xo, I) = (1, 5).

Die parametrische Gleichung der Linie lautet:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1 · t; -∞

Zur Veranschaulichung der Bedeutung dieser Gleichung ist Abbildung 3 dargestellt, in der der Parameter t seinen Wert ändert und der Punkt Q der Koordinaten (X, Y) unterschiedliche Positionen auf der Linie einnimmt.

Abbildung 3. PQ = t u. (Eigene Ausarbeitung)

Die Linie in Vektorform

Wenn ein Punkt P auf der Linie und sein Direktorvektor u gegeben sind, kann die Gleichung der Linie in Vektorform geschrieben werden:

OQ = OP + λ⋅ u

In der obigen Gleichung ist Q ein beliebiger Punkt, der jedoch zur Linie gehört, und λ ist eine reelle Zahl.

Die Vektorgleichung der Linie ist auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen anwendbar, sogar eine Hyperlinie kann definiert werden.

Im dreidimensionalen Fall für einen Direktorvektor u = (a, b, c) und einen Punkt P = (Xo, Yo, Zo) sind die Koordinaten eines generischen Punktes Q = (X, Y, Z), der zur Linie gehört ::

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Beispiel 2

Betrachten Sie noch einmal die Linie, die als Richtungsvektor gilt

u = (a, b) = (2, -1)

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt

P = (Xo, I) = (1, 5).

Die Vektorgleichung dieser Linie lautet:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Kontinuierliche Form der Linie und des Direktorvektors

Ausgehend von der parametrischen Form, die den Parameter λ löscht und gleichsetzt, haben wir:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Dies ist die symmetrische Form der Liniengleichung. Beachten Sie, dass a, b und c die Komponenten des Director-Vektors sind.

Beispiel 3

Betrachten Sie die Linie, die als Director-Vektor gilt

u = (a, b) = (2, -1)

und als bekannter Punkt der Linie der Punkt

P = (Xo, I) = (1, 5). Finden Sie seine symmetrische Form.

Die symmetrische oder kontinuierliche Form der Linie ist:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Allgemeine Form der Liniengleichung

Die allgemeine Form der Linie in der XY-Ebene ist als Gleichung mit folgender Struktur bekannt:

A⋅X + B⋅Y = C.

Der Ausdruck für die symmetrische Form kann so umgeschrieben werden, dass er die allgemeine Form hat:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

im Vergleich zur allgemeinen Form der Linie ist es:

A = b, B = -a und C = b⋅Xo - a⋅Yo

Beispiel 3

Finden Sie die allgemeine Form der Linie, deren Direktorvektor u = (2, -1) ist.

und das geht durch den Punkt P = (1, 5).

Um die allgemeine Form zu finden, können wir die angegebenen Formeln verwenden, es wird jedoch ein alternativer Pfad gewählt.

Wir beginnen mit dem Finden des Doppelvektors w des Direktorvektors u, definiert als der Vektor, der durch Austauschen der Komponenten von u und Multiplizieren des zweiten mit -1 erhalten wird:

w = (-1, -2)

der Doppelvektor w entspricht einer Drehung des Direktorvektors v um 90 ° im Uhrzeigersinn .

Wir multiplizieren w skalar mit (X, Y) und mit (Xo, Yo) und setzen gleich:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

endlich bleiben:

X + 2Y = 11

Standardform der Liniengleichung

Es ist als Standardform der Linie in der XY-Ebene bekannt, die die folgende Struktur aufweist:

Y = m⋅X + d

Dabei steht m für die Steigung und d für den Schnittpunkt mit der Y-Achse.

Bei gegebenem Richtungsvektor u = (a, b) ist die Steigung m b / a.

Y d wird erhalten, indem der bekannte Punkt Xo, I durch X und Y ersetzt wird:

I = (b / a) Xo + d.

Kurz gesagt, m = b / a und d = I - (b / a) Xo

Beachten Sie, dass die Steigung m der Quotient zwischen der y-Komponente des Direktorvektors und der x-Komponente davon ist.

Beispiel 4

Finden Sie die Standardform der Linie, deren Direktorvektor u = (2, -1) ist.

und das geht durch den Punkt P = (1, 5).

m = -½ und d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Gelöste Übungen

-Übung 1

Finden Sie einen Direktorvektor der Linie (L), der der Schnittpunkt der Ebene (Π) ist: X - Y + Z = 3 und der Ebene (Ω): 2X + Y = 1.

Schreiben Sie dann die stetige Form der Gleichung der Linie (L).

Lösung

Aus der Gleichung der Ebene (Ω) Abstand Y: Y = 1 - 2X

Dann setzen wir in die Gleichung der Ebene (Π) ein:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Dann parametrisieren wir X, wir wählen die Parametrierung X = λ

Dies bedeutet, dass die Linie eine Vektorgleichung hat, die gegeben ist durch:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

die umgeschrieben werden kann als:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

womit klar ist, dass der Vektor u = (1, -2, -3) ein Richtvektor der Linie (L) ist.

Die durchgehende Form der Linie (L) ist:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Übung 2

Gegeben ist die Ebene 5X + a Y + 4Z = 5

und die Linie, deren Gleichung X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z-2) / (-2) ist

Bestimmen Sie den Wert von a so, dass die Ebene und die Linie parallel sind.

Lösung 2

Der Vektor n = (5, a, 4) ist ein zur Ebene normaler Vektor.

Der Vektor u = (1, 3, -2) ist ein Richtungsvektor der Linie.

Wenn die Linie parallel zur Ebene ist, ist n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Verweise

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7. Sullivan, M. (1997). Vorberechnung. Pearson Ausbildung.