RECHTES TRAPEZ: EIGENSCHAFTEN, BEZIEHUNGEN UND FORMELN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Ein rechtes Trapez ist eine flache Figur mit vier Seiten, so dass zwei von ihnen parallel zueinander sind, Basen genannt, und auch eine der anderen Seiten senkrecht zu den Basen ist.

Aus diesem Grund sind zwei der Innenwinkel richtig, dh sie messen 90 °. Daher der Name "Rechteck", der der Figur gegeben wird. Das folgende Bild eines rechten Trapezes verdeutlicht diese Eigenschaften:

Trapezelemente

Die Elemente des Trapezes sind:

-Basen

-Vertices

-Höhe

-Interne Winkel

- Mittlere Basis

-Diagonale

Wir werden diese Elemente anhand der Abbildungen 1 und 2 detailliert beschreiben:

Abbildung 1. Ein rechtes Trapez mit zwei Innenwinkeln von 90 °: A und B. Quelle: F. Zapata.

Die Seiten des rechten Trapezes sind mit den Kleinbuchstaben a, b, c und d gekennzeichnet. Die Ecken der Figur oder der Eckpunkte sind in Großbuchstaben angegeben. Schließlich werden die Innenwinkel in griechischen Buchstaben ausgedrückt.

Gemäß der Definition sind die Basen dieses Trapezes die Seiten a und b, die, wie beobachtet, parallel sind und auch unterschiedliche Längen haben.

Die Seite senkrecht zu beiden Basen ist die Seite c nach links, die die Höhe h des Trapezes ist. Und schließlich gibt es die Seite d, die mit der Seite a den spitzen Winkel α bildet.

Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360º. Es ist leicht zu erkennen, dass der fehlende Winkel C in der Figur 180 - α beträgt.

Die Medianbasis ist das Segment, das die Mittelpunkte der nicht parallelen Seiten verbindet (Segment EF in Abbildung 2).

Abbildung 2. Die Elemente des rechten Trapezes. Quelle: F. Zapata.

Und schließlich gibt es die Diagonalen d ₁ und d ₂ , die Segmente, die die gegenüberliegenden Eckpunkte verbinden und sich am Punkt O schneiden (siehe Abbildung 2).

Beziehungen und Formeln

Trapezhöhe h

Umfang P.

Es ist das Maß für die Kontur und wird durch Hinzufügen der Seiten berechnet:

Seite d wird durch den Satz von Pythagoras als Höhe oder Seite c ausgedrückt:

Ersetzen im Umkreis:

Mittlere Basis

Es ist die Halbsumme der Basen:

Manchmal wird die mittlere Basis so ausgedrückt gefunden:

Bereich

Die Fläche A des Trapezes ist das Produkt der mittleren Basis mal der Höhe:

Diagonalen, Seiten und Winkel

In Abbildung 2 erscheinen mehrere Dreiecke, sowohl rechts als auch nicht rechts. Der Satz von Pythagoras kann auf diejenigen angewendet werden, die rechtwinklige Dreiecke sind, und auf diejenigen, die es nicht sind, die Kosinus- und Sinussätze.

Auf diese Weise werden Beziehungen zwischen den Seiten und zwischen den Seiten und Innenwinkeln des Trapezes gefunden.

CPA-Dreieck

Es ist ein Rechteck, seine Beine sind gleich und b wert, während die Hypotenuse die Diagonale d _{1 ist} , daher:

DAB-Dreieck

Es ist auch ein Rechteck, die Beine sind a und c (oder auch ayh) und die Hypotenuse ist d ₂ , so dass:

CDA-Dreieck

Da dieses Dreieck kein rechtwinkliges Dreieck ist, wird der Kosinussatz darauf oder auch der Sinussatz angewendet.

Nach dem Kosinussatz:

CDP-Dreieck

Dieses Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck und mit seinen Seiten werden die trigonometrischen Verhältnisse des Winkels α konstruiert:

Aber die Seite PD = a - b, also:

Sie haben auch:

CBD-Dreieck

In diesem Dreieck haben wir den Winkel, dessen Scheitelpunkt bei C liegt. Er ist in der Figur nicht markiert, aber am Anfang wurde hervorgehoben, dass er 180 - α ist. Dieses Dreieck ist kein rechtwinkliges Dreieck, daher kann der Kosinussatz oder der Sinussatz angewendet werden.

Nun kann leicht gezeigt werden, dass:

Anwendung des Kosinussatzes:

Beispiele für rechte Trapezoide

Trapezoide und insbesondere rechte Trapezoide finden sich auf vielen Seiten und manchmal nicht immer in greifbarer Form. Hier haben wir einige Beispiele:

Das Trapez als Gestaltungselement

In der Architektur vieler Gebäude gibt es viele geometrische Figuren, wie zum Beispiel diese Kirche in New York, die eine Struktur in Form eines rechteckigen Trapezes zeigt.

Ebenso ist die Trapezform häufig bei der Gestaltung von Behältern, Behältern, Klingen (Fräser oder exakt), Platten und bei der grafischen Gestaltung.

Abbildung 3. Engel in einem rechteckigen Trapez in einer New Yorker Kirche. Quelle: David Göhring über Flickr.

Trapezwellengenerator

Elektrische Signale können nicht nur quadratisch, sinusförmig oder dreieckig sein. Es gibt auch trapezförmige Signale, die in vielen Schaltkreisen nützlich sind. In Abbildung 4 gibt es ein Trapezsignal, das aus zwei rechten Trapezoiden besteht. Zwischen ihnen bilden sie ein einziges gleichschenkliges Trapez.

Abbildung 4. Ein trapezförmiges Signal. Quelle: Wikimedia Commons.

In numerischer Berechnung

Um das bestimmte Integral der Funktion f (x) zwischen a und b in numerischer Form zu berechnen, verwenden wir die Trapezregel, um die Fläche unter dem Graphen von f (x) zu approximieren. In der folgenden Abbildung wird das Integral links mit einem einzelnen rechten Trapez angenähert.

Eine bessere Annäherung ist die in der rechten Abbildung mit mehreren rechten Trapezoiden.

Abbildung 5. Ein bestimmtes Integral zwischen a und b ist nichts anderes als die Fläche unter der Kurve f (x) zwischen diesen Werten. Ein rechtes Trapez kann als erste Annäherung für ein solches Gebiet dienen, aber je mehr Trapezoide verwendet werden, desto besser ist die Annäherung. Quelle: Wikimedia Commons.

Träger mit trapezförmiger Last

Kräfte konzentrieren sich nicht immer auf einen einzelnen Punkt, da die Körper, auf die sie wirken, nennenswerte Dimensionen haben. Dies ist der Fall bei einer Brücke, über die Fahrzeuge kontinuierlich zirkulieren, dem Wasser aus einem Schwimmbad an den senkrechten Wänden desselben oder einem Dach, auf dem sich Wasser oder Schnee ansammelt.

Aus diesem Grund werden die Kräfte je nach Körper, auf den sie wirken, pro Längen-, Oberflächen- oder Volumeneinheit verteilt.

Im Fall eines Trägers kann eine pro Längeneinheit verteilte Kraft verschiedene Verteilungen aufweisen, beispielsweise das unten gezeigte rechte Trapez:

Abbildung 6. Belastungen eines Trägers. Quelle: Bedford, A. 1996. Static. Addison Wesley Interamericana.

In der Realität entsprechen Verteilungen nicht immer regulären geometrischen Formen wie dieser, können aber in vielen Fällen eine gute Annäherung sein.

Als Bildungs- und Lernwerkzeug

Geometrisch geformte Blöcke und Bilder, einschließlich Trapezoide, sind sehr hilfreich, um Kinder schon in jungen Jahren mit der faszinierenden Welt der Geometrie vertraut zu machen.

Abbildung 7. Blöcke mit einfachen geometrischen Formen. Wie viele richtige Trapezoide sind in den Blöcken versteckt? Quelle: Wikimedia Commons.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Im rechten Trapez in Abbildung 1 beträgt die größere Basis 50 cm und die kleinere Basis 30 cm. Es ist auch bekannt, dass die schräge Seite 35 cm beträgt. Finden:

a) Winkel α

b) Höhe

c) Umfang

d) Durchschnittliche Basis

e) Fläche

f) Diagonalen

Lösung für

Die Anweisungsdaten werden wie folgt zusammengefasst:

a = größere Basis = 50 cm

b = kleinere Basis = 30 cm

d = schräge Seite = 35 cm

Um den Winkel α zu finden, besuchen wir den Abschnitt Formeln und Gleichungen, um herauszufinden, welcher am besten zu den bereitgestellten Daten passt. Der gesuchte Winkel befindet sich in mehreren der analysierten Dreiecke, beispielsweise im CDP.

Dort haben wir diese Formel, die das Unbekannte und auch die uns bekannten Daten enthält:

So:

Es löscht h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = 1800 cm ² = 42,42 cm

Und für die Diagonale d ₂ :

Verweise

1. Baldor, A. 2004. Ebenen- und Raumgeometrie mit Trigonometrie. Kulturelle Veröffentlichungen.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. Geometrie. 2014. Polygone. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Rechteckiges Trapez. Wiederhergestellt von: es.onlinemschool.com.
5. Automatischer Geometrie-Problemlöser. Das Trapez. Wiederhergestellt von: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapez (Geometrie). Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.