FOURIER-TRANSFORMATION: EIGENSCHAFTEN, ANWENDUNGEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Fourier-Transformation ist eine analytische Angemessenheitsmethode, die sich an integrierbaren Funktionen orientiert und zur Familie der integralen Transformationen gehört. Es besteht aus einer Neudefinition der Funktionen f (t) in Bezug auf Cos (t) und Sen (t).

Die trigonometrischen Identitäten dieser Funktionen dienen zusammen mit ihren Ableitungs- und Antiderivierungseigenschaften dazu, die Fourier-Transformation durch die folgende komplexe Funktion zu definieren:

Was wahr ist, während der Ausdruck Sinn macht, dh wenn das falsche Integral konvergent ist. Algebraisch wird die Fourier-Transformation als linearer Homöomorphismus bezeichnet.

Jede Funktion, die mit einer Fourier-Transformation bearbeitet werden kann, muss außerhalb eines definierten Parameters null darstellen.

Eigenschaften

Quelle: Pexel

Die Fourier-Transformation erfüllt die folgenden Eigenschaften:

Existenz

Um die Existenz der Fourier-Transformation in einer in den Realzahlen R definierten Funktion f (t) zu verifizieren , müssen die folgenden 2 Axiome erfüllt sein:

1. f (t) ist für alle R stückweise stetig
2. f (t) ist in R integrierbar

Fourier-Transformationslinearität

Sei M (t) und N (t) zwei beliebige Funktionen mit bestimmten Fourier-Transformationen mit beliebigen Konstanten a und b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Dies wird auch durch die Linearität des gleichnamigen Integrals unterstützt.

Fourier-Transformation einer Ableitung

Es gibt eine Funktion f, die kontinuierlich und in alle Realitäten integrierbar ist, wobei:

Und die Ableitung von f (f ') ist stetig und stückweise in R definiert

Die Fourier-Transformation einer Ableitung wird durch Teilintegration durch den folgenden Ausdruck definiert:

F (z) = iz F (z)

In den Ableitungen höherer Ordnung wird es auf homologe Weise angewendet, wobei für alle n 1 Folgendes gilt:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier-Transformationsdifferenzierung

Es gibt eine Funktion f, die kontinuierlich und in alle Realitäten integrierbar ist, wobei:

Fourier-Transformation einer Übersetzung

Für alle θ , die zu einer Menge S gehören, und T , die zu der Menge S 'gehören, haben wir:

F = e- ^iay FF = e ^-iax F.

Mit τ _a als Übersetzungsoperator für den Vektor a.

Übersetzung der Fourier-Transformation

Für alle θ , die zu einer Menge S gehören, und T , die zu der Menge S 'gehören, haben wir:

τ _a F = F τ _a F = F.

Für alle von denen gehören zu R

Fourier-Transformation einer Skalengruppe

Für alle θ , die zu einer Menge S gehören. T , die zu der Menge S 'gehört.

λ gehört zu R - {0} wir haben:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Wenn f eine stetige und klar integrierbare Funktion ist, wobei a> 0. Dann:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Um dieses Ergebnis zu demonstrieren, können wir mit der Änderung der Variablen fortfahren.

Wenn T → +, dann ist s = bei → + ∞

Wenn T → - dann ist s = bei → - ∞

Symmetrie

Um die Symmetrie der Fourier-Transformation zu untersuchen, müssen die Identität von Parseval und die Plancherel-Formel überprüft werden.

Wir haben θ und δ, die zu S gehören . Daraus lässt sich schließen, dass:

Bekommen

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval-Identität

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel-Formel

Fourier-Transformation eines Faltungsprodukts

Bei ähnlichen Zielen wie bei der Laplace-Transformation bezieht sich die Faltung von Funktionen auf das Produkt zwischen ihren Fourier-Transformationen.

Wir haben f und g als 2 begrenzte, definierte und vollständig integrierbare Funktionen:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuität und ins Unendliche fallen

Wofür ist die Fourier-Transformation?

Es dient in erster Linie dazu, Gleichungen erheblich zu vereinfachen und abgeleitete Ausdrücke in Potenzelemente umzuwandeln, wobei Differentialausdrücke in Form integrierbarer Polynome bezeichnet werden.

Bei der Optimierung, Modulation und Modellierung von Ergebnissen fungiert es als standardisierter Ausdruck und ist nach mehreren Generationen eine häufige Ressource für das Engineering.

Die Fourier-Reihe

Sie sind Reihen, die in Bezug auf Cosinus und Sinus definiert sind. Sie dienen dazu, die Arbeit mit allgemeinen periodischen Funktionen zu erleichtern. Wenn sie angewendet werden, sind sie Teil der Techniken zum Lösen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen.

Fourier-Reihen sind noch allgemeiner als Taylor-Reihen, da sie periodische diskontinuierliche Funktionen entwickeln, die keine Taylor-Reihen-Darstellung haben.

Andere Formen der Fourier-Reihe

Um die Fourier-Transformation analytisch zu verstehen, ist es wichtig, die anderen Möglichkeiten zu überprüfen, wie die Fourier-Reihe gefunden werden kann, bis wir die Fourier-Reihe in ihrer komplexen Notation definieren können.

-Fourier-Serie über eine Funktion der Periode 2L

Oft ist es notwendig, die Struktur einer Fourier-Reihe an periodische Funktionen anzupassen, deren Periode im Intervall p = 2L> 0 ist.

- Vier Serien in ungeraden und geraden Funktionen

Das Intervall wird berücksichtigt, was Vorteile bietet, wenn die symmetrischen Eigenschaften der Funktionen ausgenutzt werden.

Wenn f gerade ist, wird die Fourier-Reihe als eine Reihe von Cosinus erstellt.

Wenn f ungerade ist, wird die Fourier-Reihe als eine Reihe von Sinus erstellt.

-Komplexnotation der Fourier-Reihe

Wenn wir eine Funktion f (t) haben, die alle Entwicklungsanforderungen der Fourier-Reihe erfüllt, ist es möglich, sie im Intervall mit ihrer komplexen Notation zu bezeichnen:

Anwendungen

Quelle: Pexel

Berechnung der Grundlösung

Die Fourier-Transformation ist ein leistungsfähiges Werkzeug zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen vom linearen Typ mit konstanten Koeffizienten. Sie gelten gleichermaßen für Funktionen mit unbegrenzten Domänen.

Wie die Laplace-Transformation transformiert die Fourier-Transformation eine partielle Ableitungsfunktion in eine gewöhnliche Differentialgleichung, die viel einfacher zu bedienen ist.

Das Cauchy-Problem für die Wärmegleichung stellt ein Feld für die häufige Anwendung der Fourier-Transformation dar, in dem der Wärmekern oder der Dirichlet-Kern erzeugt wird.

In Bezug auf die Berechnung der Grundlösung werden die folgenden Fälle vorgestellt, in denen es üblich ist, die Fourier-Transformation zu finden:

Signaltheorie

Der allgemeine Grund für die Anwendung der Fourier-Transformation in diesem Zweig liegt hauptsächlich in der charakteristischen Zerlegung eines Signals als unendliche Überlagerung leichter behandelbarer Signale.

Es kann eine Schallwelle oder eine elektromagnetische Welle sein, die Fourier-Transformation drückt sie in einer Überlagerung einfacher Wellen aus. Diese Darstellung ist in der Elektrotechnik recht häufig.

Andererseits sind Beispiele für die Anwendung der Fourier-Transformation auf dem Gebiet der Signaltheorie:

Beispiele

Beispiel 1

Definieren Sie die Fourier-Transformation für den folgenden Ausdruck:

Wir können es auch folgendermaßen darstellen:

F (t) = Sen (t)

Der Rechteckimpuls ist definiert:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Die Fourier-Transformation wird auf den folgenden Ausdruck angewendet, der dem Modulationssatz ähnelt.

f (t) = p (t) Sen (t)

Wobei: F = (1/2) i

Und die Fourier-Transformation ist definiert durch:

F = (1/2) i

Beispiel 2

Definieren Sie die Fourier-Transformation für den Ausdruck:

Da f (h) eine gerade Funktion ist, kann festgestellt werden, dass

Die Integration nach Teilen erfolgt durch Auswahl der Variablen und ihrer Differentiale wie folgt

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e - ^h ) ² /2

Ersetzen Sie haben

Nach Auswertung nach dem Grundsatz der Analysis

Unter Anwendung des Vorwissens über Differentialgleichungen erster Ordnung wird der Ausdruck als bezeichnet

Um K zu erhalten, werten wir aus

Schließlich wird die Fourier-Transformation des Ausdrucks definiert als

Vorgeschlagene Übungen

• 

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• Holen Sie sich die Transformation des Ausdrucks W / (1 + w ² )

Verweise

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-Analyse. Addison - Wesley Iberoamericana, Autonome Universität Madrid, 1995.
2. Lions, JL, Mathematische Analyse und numerische Methoden für Wissenschaft und Technologie. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb-, EH- und Gauß-Kernel haben nur Gauß-Maximierer. Erfinden. Mathematik. 102 , 179 & ndash; 208, 1990.
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5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Hrsg. Hermann, Paris, 1966.