ISOMETRISCHE TRANSFORMATIONEN: ZUSAMMENSETZUNG, TYPEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die isometrischen Transformationen sind Änderungen der Position oder Orientierung einer bestimmten Figur, die weder die Form noch die Größe dieser Figur verändern. Diese Transformationen werden in drei Typen eingeteilt: Translation, Rotation und Reflexion (Isometrie). Im Allgemeinen können Sie mit geometrischen Transformationen aus einer bestimmten Figur eine neue Figur erstellen.

Eine Umwandlung in eine geometrische Figur bedeutet, dass sie sich in gewisser Weise verändert hat. das heißt, es wurde geändert. Nach dem Sinn des Originals und ähnlichem in der Ebene können geometrische Transformationen in drei Typen eingeteilt werden: isometrisch, isomorph und anamorph.

Eigenschaften

Isometrische Transformationen treten auf, wenn die Größen der Segmente und die Winkel zwischen der ursprünglichen Figur und der transformierten Figur erhalten bleiben.

Bei dieser Art der Transformation wird weder die Form noch die Größe der Figur verändert (sie sind kongruent), es handelt sich lediglich um eine Änderung ihrer Position, entweder in Ausrichtung oder Richtung. Auf diese Weise sind die Anfangs- und Endfiguren ähnlich und geometrisch kongruent.

Isometrie bezieht sich auf Gleichheit; Mit anderen Worten, geometrische Figuren sind isometrisch, wenn sie dieselbe Form und Größe haben.

Bei isometrischen Transformationen kann nur eine Änderung der Position in der Ebene beobachtet werden. Es tritt eine starre Bewegung auf, dank derer die Figur von einer Anfangsposition zu einer Endposition wechselt. Diese Figur wird als homolog (ähnlich) des Originals bezeichnet.

Es gibt drei Arten von Bewegungen, die eine isometrische Transformation klassifizieren: Translation, Rotation und Reflexion oder Symmetrie.

Typen

Durch Übersetzung

Dies sind die Isometrien, mit denen alle Punkte der Ebene in einer Richtung und Entfernung in einer geraden Linie bewegt werden können.

Wenn eine Figur durch Translation transformiert wird, ändert sie weder ihre Ausrichtung in Bezug auf die Ausgangsposition, noch verliert sie ihre internen Maße, die Maße ihrer Winkel und Seiten. Diese Art der Verschiebung wird durch drei Parameter definiert:

- Eine Richtung, die horizontal, vertikal oder schräg sein kann.

- Eine Richtung, die links, rechts, oben oder unten sein kann.

- Abstand oder Größe, dh die Länge von der Anfangsposition bis zum Ende eines sich bewegenden Punktes.

Damit eine isometrische Transformation durch Translation erfüllt ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

- Die Figur muss immer alle Abmessungen behalten, sowohl linear als auch eckig.

- Die Figur ändert ihre Position in Bezug auf die horizontale Achse nicht. das heißt, sein Winkel ändert sich nie.

- Übersetzungen werden unabhängig von der Anzahl der vorgenommenen Übersetzungen immer in einer zusammengefasst.

In einer Ebene, in der der Mittelpunkt ein Punkt O mit Koordinaten (0,0) ist, wird die Translation durch einen Vektor T (a, b) definiert, der die Verschiebung des Anfangspunkts angibt. Das heißt:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Wenn zum Beispiel eine Translation T (-4, 7) auf den Koordinatenpunkt P (8, -2) angewendet wird, erhalten wir:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

In der folgenden Abbildung (links) ist zu sehen, wie sich Punkt C so bewegte, dass er mit D zusammenfiel. Dies geschah in vertikaler Richtung, die Richtung war nach oben und der Abstand oder die Größe CD betrug 8 Meter. Im rechten Bild ist die Übersetzung eines Dreiecks zu sehen:

Durch Rotation

Dies sind die Isometrien, mit denen die Figur alle Punkte einer Ebene drehen kann. Jeder Punkt dreht sich nach einem Bogen, für den ein konstanter Winkel und ein fester Punkt (Drehpunkt) bestimmt wurden.

Das heißt, jede Drehung wird durch ihren Drehpunkt und ihren Drehwinkel definiert. Wenn eine Figur durch Drehung transformiert wird, behält sie das Maß ihrer Winkel und Seiten bei.

Die Drehung erfolgt in eine bestimmte Richtung. Sie ist positiv, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt (entgegen der Richtung, in der sich die Zeiger der Uhr drehen), und negativ, wenn die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt.

Wenn ein Punkt (x, y) in Bezug auf den Ursprung gedreht wird - das heißt, sein Drehpunkt ist (0,0) -, in einem Winkel von 90 ^oder 360 ^oder die Koordinaten der Punkte sind:

Wenn die Drehung keinen Mittelpunkt am Ursprung hat, muss der Ursprung des Koordinatensystems auf den neuen gegebenen Ursprung übertragen werden, um die Figur mit dem Ursprung als Mittelpunkt drehen zu können.

Wenn zum Beispiel der P (-5,2) -Punkt angewendet wird, wird eine Drehung von 90 ^oder um den Ursprung und positiv seine neuen Koordinaten (-2,5).

Durch Reflexion oder Symmetrie

Sie sind jene Transformationen, die die Punkte und Figuren der Ebene umkehren. Diese Umkehrung kann sich auf einen Punkt oder auch auf eine Linie beziehen.

Mit anderen Worten, bei dieser Art der Transformation wird jeder Punkt der ursprünglichen Figur einem anderen Punkt (Bild) der homologen Figur zugeordnet, so dass der Punkt und sein Bild im gleichen Abstand von einer Linie liegen, die als Symmetrieachse bezeichnet wird. .

Somit ist der linke Teil der Figur eine Reflexion des rechten Teils, ohne seine Form oder Abmessungen zu ändern. Symmetrie verwandelt eine Figur in eine andere gleiche, aber in die entgegengesetzte Richtung, wie im folgenden Bild zu sehen ist:

Symmetrie ist in vielen Aspekten vorhanden, beispielsweise bei einigen Pflanzen (Sonnenblumen), Tieren (Pfau) und Naturphänomenen (Schneeflocken). Der Mensch reflektiert es auf seinem Gesicht, das als ein Faktor der Schönheit angesehen wird. Es gibt zwei Arten von Reflexion oder Symmetrie:

Zentrale Symmetrie

Es ist diese Transformation, die in Bezug auf einen Punkt auftritt, an dem die Figur ihre Ausrichtung ändern kann. Jeder Punkt der Originalfigur und ihr Bild befinden sich im gleichen Abstand von einem Punkt O, der als Symmetriezentrum bezeichnet wird. Symmetrie ist von zentraler Bedeutung, wenn:

- Sowohl der Punkt als auch sein Bild und seine Mitte gehören zur selben Linie.

- Bei einer Drehung des Zentrums O um 180 ^° wird eine Zahl erhalten, die dem Original entspricht.

- Die Linien der Ausgangsfigur verlaufen parallel zu den Linien der gebildeten Figur.

- Der Sinn der Figur ändert sich nicht, sie wird immer im Uhrzeigersinn sein.

Zusammensetzung einer Rotation

Die Zusammensetzung von zwei Windungen mit derselben Mitte führt zu einer weiteren Windung, die dieselbe Mitte hat und deren Amplitude die Summe der Amplituden der beiden Windungen ist.

Wenn die Mitte der Windungen eine andere Mitte hat, ist der Schnitt der Winkelhalbierenden zweier Segmente mit ähnlichen Punkten die Mitte der Kurve.

Zusammensetzung einer Symmetrie

In diesem Fall hängt die Zusammensetzung davon ab, wie sie angewendet wird:

- Wenn dieselbe Symmetrie zweimal angewendet wird, ist das Ergebnis eine Identität.

- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei parallele Achsen angewendet werden, ist das Ergebnis eine Verschiebung, und ihre Verschiebung ist doppelt so groß wie der Abstand dieser Achsen:

- Wenn zwei Symmetrien in Bezug auf zwei Achsen angewendet werden, die sich am Punkt O (Mitte) schneiden, wird eine Drehung mit der Mitte bei O erhalten und ihr Winkel ist doppelt so groß wie der Winkel, den die Achsen bilden:

Verweise

1. V Bourgeois, JF (1988). Materialien für die Konstruktion von Geometrie. Madrid: Synthese.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Technische Zeichnung II. Paraninfo SA: Ausgaben des Turms.
3. Coxeter, H. (1971). Grundlagen der Geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometrie Ein Transformationsansatz. USA: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induktion und Formalisierung in der Lehre starrer Transformationen in der CABRI-Umgebung.
6. PJ (1996). Die Gruppe der Isometrien der Ebene. Madrid: Synthese.
7. Suárez, AC (2010). Transformationen in der Ebene. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.