SCHRÄGER PARABOLSCHUSS: EIGENSCHAFTEN, FORMELN, GLEICHUNGEN, BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Der schräge parabolische Schuss ist ein besonderer Fall der Bewegung im freien Fall, bei der die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils einen Winkel zur Horizontalen bildet, wodurch sich eine parabolische Flugbahn ergibt.

Der freie Fall ist ein Fall von Bewegung mit konstanter Beschleunigung, bei dem die Beschleunigung die der Schwerkraft ist, die immer vertikal nach unten zeigt und eine Größe von 9,8 m / s ^ 2 hat. Es hängt nicht von der Masse des Projektils ab, wie Galileo Galilei 1604 zeigte.

Abbildung 1. Schräger Parabolschuss. (Eigene Ausarbeitung)

Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils vertikal ist, hat der freie Fall eine gerade und vertikale Flugbahn, aber wenn die Anfangsgeschwindigkeit schräg ist, ist die Flugbahn des freien Falls eine parabolische Kurve, eine Tatsache, die auch von Galileo gezeigt wurde.

Beispiele für parabolische Bewegungen sind die Flugbahn eines Baseballs, die von einer Kanone abgefeuerte Kugel und der aus einem Schlauch austretende Wasserstrahl.

Abbildung 1 zeigt eine schräge Parabelaufnahme von 10 m / s mit einem Winkel von 60 °. Die Skala ist in Metern angegeben und die aufeinanderfolgenden Positionen von P werden mit einer Differenz von 0,1 s ab dem anfänglichen Zeitpunkt 0 Sekunden eingenommen.

Formeln

Die Bewegung eines Teilchens wird vollständig beschrieben, wenn seine Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktion der Zeit bekannt sind.

Die parabolische Bewegung, die sich aus einem schrägen Schuss ergibt, ist die Überlagerung einer horizontalen Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit plus einer vertikalen Bewegung mit konstanter Beschleunigung gleich der Erdbeschleunigung.

Die Formeln, die für den schrägen Parabelzug gelten, entsprechen einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung a = g . Beachten Sie, dass Fettdruck verwendet wurde, um anzuzeigen, dass die Beschleunigung eine Vektorgröße ist.

Position und Geschwindigkeit

Bei einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung hängt die Position mathematisch von der Zeit in quadratischer Form ab.

Wenn wir r (t) die Position zum Zeitpunkt t, r oder die Position zum Anfangszeitpunkt v oder die Anfangsgeschwindigkeit, g die Beschleunigung und t = 0 als Anfangszeitpunkt bezeichnen, lautet die Formel, die die Position für jeden Zeitpunkt t angibt:

r (t) = r _o + v _o t + ½ g t ²

Das Fettdruck im obigen Ausdruck zeigt an, dass es sich um eine Vektorgleichung handelt.

Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit wird erhalten, indem die Ableitung in Bezug auf t der Position genommen wird, und das Ergebnis ist:

v (t) = v _o + g t

Und um die Beschleunigung als Funktion der Zeit zu erhalten, wird die Ableitung der Geschwindigkeit in Bezug auf t genommen, was ergibt:

Wenn keine Zeit verfügbar ist, besteht eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Position, die gegeben ist durch:

v ² = vo ² - 2 g (y - i)

Gleichungen

Als nächstes finden wir die Gleichungen, die für einen schrägen Parabolschuss in kartesischer Form gelten.

Abbildung 2. Variablen und Parameter des schrägen Parabelentwurfs. (Eigene Ausarbeitung)

Die Bewegung beginnt zum Zeitpunkt t = 0 mit der Anfangsposition (xo, i) und der Geschwindigkeit der Größe va Winkel θ, dh der Anfangsgeschwindigkeitsvektor ist (vo cosθ, vo sinθ). Die Bewegung erfolgt mit Beschleunigung

g = (0, -g).

Parametrische Gleichungen

Wenn die Vektorformel angewendet wird, die die Position als Funktion der Zeit angibt, und Komponenten gruppiert und ausgeglichen werden, werden die Gleichungen erhalten, die die Koordinaten der Position zu jedem Zeitpunkt t angeben.

x (t) = x _o + v _{oder x} t

y (t) = y _o + v _oy t -½ gt ²

Ebenso haben wir die Gleichungen für die Geschwindigkeitskomponenten als Funktion der Zeit.

v _x (t) = v _ox

v _y (t) = v _oy - gt

Wobei: v oder _x = vo cosθ; v _oy = vo sinθ

Gleichung des Pfades

y = A x ^ 2 + B x + C.

A = -g / (2 v oder x ^ 2)

B = (voy / vox + gxo / vox ^ 2)

C = (i - v oy xo / v ox)

Beispiele

Beantworten Sie folgende Fragen:

a) Warum wird der Effekt der Reibung mit Luft bei Problemen mit dem Parabolzug normalerweise vernachlässigt?

b) Ist die Form des Objekts im Parabolschuss von Bedeutung?

Antworten

a) Damit die Bewegung eines Projektils parabolisch ist, ist es wichtig, dass die Reibungskraft der Luft viel geringer ist als das Gewicht des geworfenen Objekts.

Wenn eine Kugel aus Kork oder einem anderen leichten Material geworfen wird, ist die Reibungskraft mit dem Gewicht vergleichbar und ihre Flugbahn kann sich einer Parabel nicht annähern.

Im Gegenteil, wenn es sich um ein schweres Objekt wie einen Stein handelt, ist die Reibungskraft im Vergleich zum Gewicht des Steins vernachlässigbar und seine Flugbahn nähert sich einer Parabel.

b) Die Form des geworfenen Objekts ist ebenfalls relevant. Wenn ein Blatt Papier in die Form eines Flugzeugs geworfen wird, ist seine Bewegung nicht frei fallend oder parabolisch, da die Form den Luftwiderstand begünstigt.

Wenn andererseits dasselbe Blatt Papier zu einer Kugel verdichtet wird, ist die resultierende Bewegung einer Parabel sehr ähnlich.

Beispiel 2

Ein Projektil wird mit einer Geschwindigkeit von 10 m / s und einem Winkel von 60 ° vom horizontalen Boden abgefeuert. Dies sind die gleichen Daten, mit denen Abbildung 1 erstellt wurde. Mit diesen Daten finden Sie:

a) Moment, in dem es die maximale Höhe erreicht.

b) Die maximale Höhe.

c) Die Geschwindigkeit bei maximaler Höhe.

d) Position und Geschwindigkeit bei 1,6 s.

e) In dem Moment, in dem es wieder auf dem Boden aufschlägt.

f) Die horizontale Reichweite.

Lösung für)

Die vertikale Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist

v _y (t) = v _oy - gt = v _o sin & thgr; - ​​gt = 10 sin60º - 9,8 t = 8,66 - 9,8 t

In dem Moment, in dem die maximale Höhe erreicht ist, ist die vertikale Geschwindigkeit für einen Moment Null.

8,66 - 9,8 t = 0 ⇒ t = 0,88 s.

Lösung b)

Die maximale Höhe wird durch die y-Koordinate für den Moment angegeben, in dem diese Höhe erreicht wird:

y (0,88 s) = I + go t -½ gt ^ 2 = 0 + 8,66 * 0,88-½ 9,8 0,88 ^ 2 =

3,83 m

Daher beträgt die maximale Höhe 3,83 m.

Lösung c)

Die Geschwindigkeit bei maximaler Höhe ist horizontal:

v _x (t) = v oder _x = v _oder cos & thgr; = 10 cos60º = 5 m / s

Lösung d)

Die Position bei 1,6 s ist:

x (1,6) = 5 · 1,6 = 8,0 m

y (1,6) = 8,66 · 1,6 - ½ 9,8 1,6 2 = 1,31 m

Lösung e)

Wenn die y-Koordinate den Boden berührt, dann:

y (t) = 8,66 * t - ½ 9,8 t 2 = 0 ⇒ t = 1,77 s

Lösung f)

Die horizontale Reichweite ist die x-Koordinate in dem Moment, in dem sie den Boden berührt:

x (1,77) = 5 · 1,77 = 8,85 m

Beispiel 3

Finden Sie die Pfadgleichung anhand der Daten aus Beispiel 2.

Lösung

Die parametrische Gleichung des Pfades lautet:

y (t) = 8,66 * t-½ 9,8 t ^ 2

Und die kartesische Gleichung wird erhalten, indem t aus der ersten gelöst und in der zweiten ersetzt wird

y = 8,66 * (x / 5) -½ 9,8 (x / 5) ^ 2

Vereinfachung:

y = 1,73 x - 0,20 x ^ 2

Verweise

1. PP Teodorescu (2007). Kinematik. Mechanische Systeme, klassische Modelle: Teilchenmechanik. Springer.
2. Resnick, Halliday & Krane (2002). Physik Band 1. Cecsa, Mexiko.
3. Thomas Wallace Wright (1896). Elemente der Mechanik einschließlich Kinematik, Kinetik und Statik. E und FN Spon.
4. Wikipedia. Parabolische Bewegung. Von es.wikipedia.org wiederhergestellt.
5. Wikipedia. Projektilbewegung Von en.wikipedia.org wiederhergestellt.