PARABOLISCHES SCHIESSEN: EIGENSCHAFTEN, FORMELN UND GLEICHUNGEN, BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Das Parabolische , ein Objekt oder einen Projektilwinkel zu werfen und es unter der Wirkung der Schwerkraft bewegen zu lassen. Wenn der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird, folgt das Objekt unabhängig von seiner Art einem Parabelbogenpfad.

Es ist eine tägliche Bewegung, da zu den beliebtesten Sportarten solche gehören, bei denen Bälle oder Bälle entweder mit der Hand, mit dem Fuß oder mit einem Instrument wie beispielsweise einem Schläger oder einem Schläger geworfen werden.

Abbildung 1. Der Wasserstrahl aus dem Zierbrunnen folgt einem parabolischen Pfad. Quelle: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor (ifj.), Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

Für seine Untersuchung wird der Parabolschuss in zwei überlagerte Bewegungen unterteilt: eine horizontale ohne Beschleunigung und die andere vertikale mit konstanter Abwärtsbeschleunigung, die Schwerkraft. Beide Bewegungen haben Anfangsgeschwindigkeit.

Angenommen, die horizontale Bewegung verläuft entlang der x-Achse und die vertikale Bewegung entlang der y-Achse. Jede dieser Bewegungen ist unabhängig von der anderen.

Da die Bestimmung der Position des Projektils das Hauptziel ist, muss ein geeignetes Referenzsystem ausgewählt werden. Die Details folgen.

Parabolische Schussformeln und Gleichungen

Angenommen, das Objekt wird mit dem Winkel α in Bezug auf die Horizontal- und Anfangsgeschwindigkeit v _oder wie in der Abbildung unten links gezeigt geworfen . Der Parabolschuss ist eine Bewegung, die auf der xy-Ebene stattfindet, und in diesem Fall wird die Anfangsgeschwindigkeit wie folgt zerlegt:

Abbildung 2. Links die Anfangsgeschwindigkeit des Projektils und rechts die Position zu jedem Zeitpunkt des Starts. Quelle: Wikimedia Commons. Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Die Position des Projektils, bei der es sich um den roten Punkt in Abbildung 2, rechtes Bild, handelt, weist ebenfalls zwei zeitabhängige Komponenten auf, eine bei x und eine bei y. Die Position ist ein mit r bezeichneter Vektor und seine Einheiten sind die Länge.

In der Abbildung stimmt die Anfangsposition des Projektils mit dem Ursprung des Koordinatensystems überein, daher ist x _o = 0 und _o = 0. Dies ist nicht immer der Fall, Sie können den Ursprung überall wählen, aber diese Auswahl vereinfacht viel Berechnungen.

In Bezug auf die beiden Bewegungen in x und in y sind dies:

-x (t): Es ist eine gleichmäßige geradlinige Bewegung.

-y (t): entspricht einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung mit g = 9,8 m / s ² und senkrecht nach unten zeigend.

In mathematischer Form:

Der Positionsvektor ist:

r (t) = i + j

In diesen Gleichungen wird der aufmerksame Leser feststellen, dass das Minuszeichen auf die Schwerkraft zurückzuführen ist, die auf den Boden zeigt, wobei die Richtung als negativ gewählt wird, während die Aufwärtsbewegung als positiv angenommen wird.

Da Geschwindigkeit die erste Ableitung der Position ist, differenzieren Sie einfach r (t) in Bezug auf die Zeit und erhalten Sie:

v (t) = v _o cos & agr; i + (v _o. sin & agr; - ​​gt) j

Schließlich wird die Beschleunigung vektoriell ausgedrückt als:

a (t) = -g j

- Flugbahn, maximale Höhe, maximale Zeit und horizontale Reichweite

Flugbahn

Um die explizite Gleichung der Trajektorie zu finden, die die Kurve y (x) ist, müssen wir den Zeitparameter eliminieren, in der Gleichung x (t) lösen und in y (t) einsetzen. Die Vereinfachung ist etwas mühsam, aber schließlich erhalten Sie:

Maximale Höhe

Die maximale Höhe tritt auf, wenn v _y = 0 ist. Zu wissen, dass es die folgende Beziehung zwischen der Position und dem Quadrat der Geschwindigkeit gibt:

Abbildung 3. Die Geschwindigkeit im Parabolschuss. Quelle: Giambattista, A. Physik.

V _y = 0 machen, sobald die maximale Höhe erreicht ist:

Mit:

Maximale Zeit

Die maximale Zeit ist die Zeit, die das Objekt benötigt, um zu erreichen, und _max . Zur Berechnung wird verwendet:

Wenn man weiß, dass v _y 0 wird, wenn t = t _{max ist} , ergibt sich:

Maximale horizontale Reichweite und Flugzeit

Die Reichweite ist sehr wichtig, da sie signalisiert, wohin das Objekt fallen wird. Auf diese Weise wissen wir, ob es das Ziel trifft oder nicht. Um es zu finden, benötigen wir die Flugzeit, Gesamtzeit oder _v .

Aus der obigen Abbildung ist leicht zu schließen, dass t _v = 2.t _max . Aber Vorsicht! Dies gilt nur, wenn der Start eben ist, dh die Höhe des Startpunkts der Höhe der Ankunft entspricht. Andernfalls wird die quadratische Gleichung Zeit gefunden , dass durch die Lösung ergibt sich aus dem endgültigen Einsetzen und _endgültige Position :

In jedem Fall beträgt die maximale horizontale Reichweite:

Beispiele für parabolisches Schießen

Der parabolische Schuss ist Teil der Bewegung von Menschen und Tieren. Auch von fast allen Sportarten und Spielen, bei denen die Schwerkraft eingreift. Beispielsweise:

Parabolisches Schießen bei menschlichen Aktivitäten

-Der von einem Katapult geworfene Stein.

-Der Abstoß des Torhüters.

-Der vom Werfer geworfene Ball.

-Der Pfeil, der aus dem Bogen kommt.

-Alle Arten von Sprüngen

- Wirf einen Stein mit einer Schlinge.

-Jede Wurfwaffe.

Abbildung 4. Der vom Katapult geworfene Stein und der beim Abstoß getretene Ball sind Beispiele für parabolische Schüsse. Quelle: Wikimedia Commons.

Der parabolische Schuss in der Natur

-Das Wasser, das aus natürlichen oder künstlichen Düsen wie einem Brunnen fließt.

-Stonen und Lava sprudeln aus einem Vulkan.

- Ein Ball, der vom Bürgersteig abprallt, oder ein Stein, der auf dem Wasser abprallt.

-Alle Arten von Tieren, die springen: Kängurus, Delfine, Gazellen, Katzen, Frösche, Kaninchen oder Insekten, um nur einige zu nennen.

Abbildung 5. Der Impala kann bis zu 3 m weit springen. Quelle: Wikimedia Commons. Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Übung

Eine Heuschrecke springt in einem Winkel von 55 ° zur Horizontalen und landet 0,80 Meter vor ihnen. Finden:

a) Die maximal erreichte Höhe.

b) Wenn er mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit springen würde, aber einen Winkel von 45º bilden würde, würde er höher gehen?

c) Was kann über die maximale horizontale Reichweite für diesen Winkel gesagt werden?

Lösung für

Wenn die vom Problem gelieferten Daten nicht die Anfangsgeschwindigkeit v enthalten _oder die Berechnungen etwas mühsamer sind, aber aus den bekannten Gleichungen ein neuer Ausdruck abgeleitet werden kann. Ab:

Wenn es später landet, kehrt die Höhe auf 0 zurück, also:

Da t _v ein gemeinsamer Faktor ist, vereinfacht es:

Wir können für t _v aus der ersten Gleichung lösen:

Und im zweiten ersetzen:

Wenn alle Terme mit v _oder .cos α multipliziert werden, wird der Ausdruck nicht geändert und der Nenner verschwindet:

Jetzt können Sie v _oder o löschen _und auch die folgende Identität ersetzen:

sin 2α = 2 sin α. cos α → v _oder ² sin 2α = gx _max

Berechne v _oder ² :

Der Hummer schafft es, die gleiche horizontale Geschwindigkeit beizubehalten, aber durch Verringern des Winkels:

Erreicht eine niedrigere Höhe.

Lösung c

Die maximale horizontale Reichweite beträgt:

Durch Ändern des Winkels wird auch die horizontale Reichweite geändert:

x _max = 8,34 sin 90 / 9,8 m = 0,851 m = 85,1 cm

Der Sprung ist jetzt länger. Der Leser kann überprüfen, ob es für den 45 ° -Winkel maximal ist, weil:

sin 2α = sin 90 = 1.

Verweise

1. Figueroa, D. 2005. Reihe: Physik für Naturwissenschaften und Technik. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, A. 2010. Physik. Zweite Ausgabe. McGraw Hill.
3. Giancoli, D. 2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. 6 .. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, R. 1999. Physics. Vol. 1. 3rd Ed. In Spanisch. Compañía Editorial Continental SA de CV
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitätsphysik mit moderner Physik. 14 .. Ed. Band 1.