TORRICELLIS THEOREM: WORAUS ES BESTEHT, FORMELN UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Der Satz Torricelli oder das Prinzip Torricelli besagt, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit, die aus der Öffnung in der Wand eines Tanks oder Behälters austritt, mit der Geschwindigkeit identisch ist, mit der ein Objekt erfasst wird, das aus einer Höhe gleich der Oberfläche frei fallen gelassen wird frei von Flüssigkeit zum Loch.

Der Satz ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Illustration von Torricellis Theorem. Quelle: selbst gemacht.

Aufgrund des Satzes von Torricelli können wir dann feststellen, dass die Austrittsgeschwindigkeit der Flüssigkeit durch eine Öffnung, die sich in der Höhe h unter der freien Oberfläche der Flüssigkeit befindet, durch die folgende Formel gegeben ist:

Dabei ist g die Erdbeschleunigung und h die Höhe vom Loch zur freien Oberfläche der Flüssigkeit.

Evangelista Torricelli war ein Physiker und Mathematiker, der 1608 in der italienischen Stadt Faenza geboren wurde. Torricelli wird die Erfindung des Quecksilberbarometers zugeschrieben, und als Anerkennung gibt es eine Druckeinheit namens „Torr“, die einem Millimeter Quecksilber entspricht (mm Hg).

Beweis des Satzes

In Torricellis Theorem und in der Formel, die die Geschwindigkeit angibt, wird angenommen, dass die Viskositätsverluste vernachlässigbar sind, ebenso wie im freien Fall angenommen wird, dass die Reibung aufgrund der Luft, die das fallende Objekt umgibt, vernachlässigbar ist.

Die obige Annahme ist in den meisten Fällen vernünftig und beinhaltet auch die Erhaltung mechanischer Energie.

Um den Satz zu beweisen, finden wir zuerst die Formel für die Geschwindigkeit eines Objekts, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Null aus derselben Höhe wie die Flüssigkeitsoberfläche im Tank freigegeben wird.

Das Prinzip der Energieerhaltung wird angewendet, um die Geschwindigkeit des fallenden Objekts zu erhalten, sobald es eine Höhe h erreicht hat, die der vom Loch zur freien Oberfläche entspricht.

Da es keine Reibungsverluste gibt, gilt das Prinzip der Erhaltung der mechanischen Energie. Angenommen, das fallende Objekt hat die Masse m und die Höhe h wird vom Austrittsniveau der Flüssigkeit gemessen.

Fallendes Objekt

Wenn das Objekt aus einer Höhe freigesetzt wird, die der der freien Oberfläche der Flüssigkeit entspricht, ist seine Energie nur das Gravitationspotential, da seine Geschwindigkeit Null und daher seine kinetische Energie Null ist. Die potentielle Energie Ep ist gegeben durch:

Ep = mgh

Wenn es vor dem Loch vorbeigeht, ist seine Höhe Null, dann ist die potentielle Energie Null, so dass es nur kinetische Energie Ec hat, die gegeben ist durch:

Ec = ½ mv ²

Da die Energie erhalten bleibt Ep = Ec aus dem, was erhalten wird:

½ mv ² = mgh

Nach der Geschwindigkeit v wird dann die Torricelli-Formel erhalten:

Flüssigkeit kommt aus dem Loch

Als nächstes finden wir die Austrittsgeschwindigkeit der Flüssigkeit durch das Loch, um zu zeigen, dass sie mit der übereinstimmt, die gerade für ein frei fallendes Objekt berechnet wurde.

Dazu stützen wir uns auf das Bernoulli-Prinzip, das nichts anderes ist als die Erhaltung der Energie, die auf Flüssigkeiten angewendet wird.

Bernoullis Prinzip lautet wie folgt:

Die Interpretation dieser Formel lautet wie folgt:

• Der erste Term repräsentiert die kinetische Energie des Fluids pro Volumeneinheit
• Die zweite repräsentiert die Arbeit, die durch Druck pro Querschnittseinheit geleistet wird
• Die dritte repräsentiert die potentielle Energie der Gravitation pro Volumeneinheit der Flüssigkeit.

Wenn wir von der Prämisse ausgehen, dass es sich um ein ideales Fluid unter nicht turbulenten Bedingungen mit relativ geringen Geschwindigkeiten handelt, ist es wichtig zu bestätigen, dass die mechanische Energie pro Volumeneinheit in dem Fluid in allen seinen Regionen oder Querschnitten konstant ist.

In dieser Formel ist V die Geschwindigkeit des Fluids, ρ die Dichte des Fluids, P der Druck und z die vertikale Position.

Die folgende Abbildung zeigt Torricellis Formel ausgehend von Bernoullis Prinzip.

Wir wenden die Bernoulli-Formel auf die freie Oberfläche der Flüssigkeit an, die wir mit (1) bezeichnen, und auf das Austrittsloch, das wir mit (2) bezeichnen. Die Nullkopfhöhe wurde bündig mit dem Auslassloch gewählt.

Unter der Voraussetzung, dass der Querschnitt in (1) viel größer als in (2) ist, können wir dann annehmen, dass die Sinkgeschwindigkeit der Flüssigkeit in (1) praktisch vernachlässigbar ist.

Aus diesem Grund wurde V ₁ = 0 eingestellt , der Druck, dem die Flüssigkeit in (1) ausgesetzt ist, ist Atmosphärendruck und die von der Öffnung gemessene Höhe ist h.

Für den Auslassabschnitt (2) nehmen wir an, dass die Auslassgeschwindigkeit v ist, der Druck, dem die Flüssigkeit am Auslass ausgesetzt ist, ebenfalls Atmosphärendruck ist und die Auslasshöhe Null ist.

Die den Abschnitten (1) und (2) entsprechenden Werte werden in der Bernoulli-Formel eingesetzt und gleich gesetzt. Die Gleichheit gilt, weil wir davon ausgehen, dass die Flüssigkeit ideal ist und keine viskosen Reibungsverluste auftreten. Sobald alle Begriffe vereinfacht wurden, wird die Geschwindigkeit am Austrittsloch erhalten.

Das obige Kästchen zeigt, dass das erhaltene Ergebnis das gleiche ist wie das eines frei fallenden Objekts.

Gelöste Übungen

Übung 1

I ) Das kleine Auslassrohr eines Wassertanks befindet sich 3 m unter der Wasseroberfläche. Berechnen Sie die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers.

Lösung:

Die folgende Abbildung zeigt, wie die Torricelli-Formel in diesem Fall angewendet wird.

Übung 2

II ) Unter der Annahme, dass das Auslassrohr des Tanks aus der vorherigen Übung einen Durchmesser von 1 cm hat, berechnen Sie den Wasserauslassfluss.

Lösung:

Die Durchflussrate ist das Volumen der pro Zeiteinheit austretenden Flüssigkeit und wird einfach durch Multiplizieren der Fläche der Austrittsöffnung mit der Austrittsgeschwindigkeit berechnet.

Die folgende Abbildung zeigt die Details der Berechnung.

Übung 3

III ) Bestimmen Sie, wie hoch die freie Oberfläche des Wassers in einem Behälter ist, wenn Sie wissen

dass in einem Loch im Boden des Behälters das Wasser mit 10 m / s austritt.

Lösung:

Selbst wenn sich das Loch am Boden des Behälters befindet, kann die Torricelli-Formel angewendet werden.

Die folgende Abbildung zeigt die Details der Berechnungen.

Verweise

1. Wikipedia. Torricellis Theorem.
2. Hewitt, P. Konzeptionelle Physik. Fünfte Ausgabe .119.
3. Jung, Hugh. 2016. Sears-Zemanskys Universitätsphysik mit moderner Physik. 14. Aufl. Pearson. 384.