STEINERS THEOREM: ERKLÄRUNG, ANWENDUNGEN, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Der Steiner'sche Satz , auch als Parallelachsensatz bekannt, um das Trägheitsmoment eines ausgedehnten Körpers um eine Achse zu bewerten, die parallel zu einer anderen Achse verläuft, die durch den Massenschwerpunkt des Objekts verläuft.

Es wurde vom Schweizer Mathematiker Jakob Steiner (1796–1863) entdeckt und besagt Folgendes: I _{CM sei} das Trägheitsmoment des Objekts in Bezug auf eine Achse, die durch seinen Massenschwerpunkt CM verläuft, und I _z das Trägheitsmoment in Bezug auf eine andere Achse parallel dazu.

Abbildung 1. Eine rechteckige Tür, die sich in ihren Scharnieren dreht, hat ein Trägheitsmoment, das durch Anwendung des Steiner-Theorems berechnet werden kann. Quelle: Pixabay.

Bei Kenntnis des Abstands D, der beide Achsen trennt, und der Masse M des betreffenden Körpers beträgt das Trägheitsmoment in Bezug auf die unbekannte Achse:

Das Trägheitsmoment gibt an, wie leicht sich ein Objekt um eine bestimmte Achse drehen kann. Es hängt nicht nur von der Masse des Körpers ab, sondern auch davon, wie er verteilt ist. Aus diesem Grund wird es auch als Rotationsträgheit bezeichnet, da es seine Einheiten im Internationalen System kg sind. m ² .

Der Satz zeigt, dass das Trägheitsmoment I _z immer um eine durch MD ² gegebene Größe größer ist als das Trägheitsmoment I _CM .

Anwendungen

Da sich ein Objekt um zahlreiche Achsen drehen kann und in den Tabellen normalerweise nur das Trägheitsmoment in Bezug auf die durch den Schwerpunkt verlaufende Achse angegeben ist, erleichtert das Steiner-Theorem die Berechnung, wenn Körper auf Achsen gedreht werden müssen das passt nicht dazu.

Beispielsweise dreht sich eine Tür üblicherweise nicht um eine Achse durch ihren Schwerpunkt, sondern um eine seitliche Achse, an der die Scharniere haften.

Durch Kenntnis des Trägheitsmoments ist es möglich, die kinetische Energie zu berechnen, die mit der Drehung um diese Achse verbunden ist. Wenn K die kinetische Energie ist, I das Trägheitsmoment um die betreffende Achse und ω die Winkelgeschwindigkeit, folgt daraus:

Diese Gleichung ist der sehr bekannten Formel für kinetische Energie für ein Objekt der Masse M, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt, sehr ähnlich: K = ½ Mv ² . Und es ist so, dass das Trägheitsmoment oder die Rotationsträgheit I bei der Rotation dieselbe Rolle spielt wie die Masse M bei der Translation.

Beweis von Steiners Theorem

Das Trägheitsmoment eines erweiterten Objekts ist definiert als:

I = ² r ² dm

Wobei dm ein infinitesimaler Teil der Masse ist und r der Abstand zwischen dm und der Drehachse z ist. In Abbildung 2 kreuzt diese Achse den Schwerpunkt CM, kann jedoch beliebig sein.

Abbildung 2. Ein Objekt, das sich in Rotation um zwei parallele Achsen erstreckt. Quelle: F. Zapata.

Um eine andere z'-Achse ist das Trägheitsmoment:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Nun gibt es gemäß dem durch die Vektoren D , r und r ' gebildeten Dreieck (siehe Abbildung 2 rechts) eine Vektorsumme:

r + r ' = D → r' = D - r

Die drei Vektoren liegen auf der Ebene des Objekts, die das xy sein kann. Der Ursprung des Koordinatensystems (0,0) wird in CM gewählt, um die folgenden Berechnungen zu erleichtern.

Auf diese Weise ist das quadratische Modul des Vektors r ' :

Diese Entwicklung wird nun durch das Integral des Trägheitsmoments I _{z ersetzt,} und es wird auch die Definition der Dichte dm = ρ.dV verwendet:

Der in Steiners Theorem vorkommende Term M. D ² stammt aus dem ersten Integral, das zweite ist das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch CM verläuft.

Das dritte und vierte Integral sind ihrerseits 0 wert, da sie per Definition die Position des CM bilden, das als Ursprung des Koordinatensystems (0,0) gewählt wurde.

Gelöste Übungen

- Gelöste Übung 1

Die rechteckige Tür in Abbildung 1 hat eine Masse von 23 kg, eine Breite von 1,30 und eine Höhe von 2,10 m. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Tür in Bezug auf die Achse, die durch die Scharniere verläuft, unter der Annahme, dass die Tür dünn und gleichmäßig ist.

Abbildung 3. Schema für Arbeitsbeispiel 1. Quelle: modifiziert von Pixabay.

Lösung

Aus einer Tabelle der Trägheitsmomente ergibt sich für eine rechteckige Platte mit der Masse M und den Abmessungen a und b das Trägheitsmoment in Bezug auf die Achse, die durch ihren Massenmittelpunkt verläuft: I _CM = (1/12) M (a ² +) b ² ).

Es wird ein homogenes Gate angenommen (eine Annäherung, da das Gate in der Figur wahrscheinlich nicht so ist). In einem solchen Fall verläuft der Schwerpunkt durch seinen geometrischen Mittelpunkt. In Abbildung 3 wurde eine Achse gezeichnet, die durch den Schwerpunkt verläuft und parallel zur Achse verläuft, die durch die Scharniere verläuft.

I _CM = (1/12) × 23 kg × (1,30 ² + 2,10 ² ) m ² = 11,7 kg m ²

Anwendung des Steiner-Theorems für die grüne Rotationsachse:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,652 m ² = 21,4 Kg.

- Gelöste Übung 2

Finden Sie das Trägheitsmoment eines homogenen dünnen Stabes, wenn er sich um eine Achse dreht, die durch eines seiner Enden verläuft (siehe Abbildung). Ist es größer oder kleiner als das Trägheitsmoment, wenn es sich um sein Zentrum dreht? Warum?

Abbildung 4. Schema für das aufgelöste Beispiel 2. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Nach der Tabelle der Trägheitsmomente beträgt das Trägheitsmoment I _CM eines dünnen Stabes der Masse M und der Länge L: I _CM = (1/12) ML ²

Und Steiners Theorem besagt, dass, wenn es um eine Achse gedreht wird, die durch ein Ende D = L / 2 verläuft, es bleibt:

Es ist größer, wenn auch nicht einfach zweimal, sondern viermal größer, da sich die andere Hälfte des Stabes (in der Figur nicht schattiert) dreht und einen größeren Radius beschreibt.

Der Einfluss des Abstandes zur Rotationsachse ist nicht linear, sondern quadratisch. Eine Masse, die doppelt so groß ist wie eine andere, hat ein Trägheitsmoment proportional zu (2D) ² = 4D ² .

Verweise

1. Bauer, W. 2011. Physik für Ingenieurwissenschaften. Band 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Drehbewegung. Wiederhergestellt von: phys.nthu.edu.tw.
3. Satz der parallelen Achse. Wiederhergestellt von: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Grundlagen der Physik. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Satz der parallelen Achse. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org