Das Bernoulli-Theorem , das das Verhalten einer sich bewegenden Flüssigkeit beschreibt, wurde von dem mathematischen und physikalischen Daniel Bernoulli in seiner Arbeit Hydrodynamics formuliert. Nach dem Prinzip hat eine ideale Flüssigkeit (ohne Reibung oder Viskosität), die durch eine geschlossene Leitung zirkuliert, eine konstante Energie auf ihrem Weg.
Der Satz kann aus dem Prinzip der Energieerhaltung und sogar aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz abgeleitet werden. Darüber hinaus besagt das Bernoulli-Prinzip auch, dass eine Erhöhung der Geschwindigkeit eines Fluids eine Verringerung des Drucks, dem es ausgesetzt ist, eine Verringerung seiner potentiellen Energie oder beides gleichzeitig impliziert.
Daniel Bernoulli
Der Satz hat viele verschiedene Anwendungen, sowohl in der Welt der Wissenschaft als auch im täglichen Leben der Menschen.
Seine Folgen liegen unter anderem in der Auftriebskraft von Flugzeugen, in den Kaminen von Haushalten und Industrie, in Wasserleitungen.
Bernoullis Gleichung
Obwohl Bernoulli derjenige war, der folgerte, dass der Druck mit zunehmender Durchflussrate abnimmt, war es die Wahrheit, dass Leonhard Euler tatsächlich die Bernoulli-Gleichung in der Form entwickelte, in der sie heute bekannt ist.
In jedem Fall lautet die Bernoulli-Gleichung, die nichts anderes als der mathematische Ausdruck seines Satzes ist, wie folgt:
v 2 ƿ ƿ / 2 + P + ƿ ∙ g ∙ z = konstant
In diesem Ausdruck ist v die Geschwindigkeit des Fluids durch den betrachteten Abschnitt, ƿ ist die Dichte des Fluids, P ist der Druck des Fluids, g ist der Wert der Erdbeschleunigung und z ist die in Richtung gemessene Höhe der Schwerkraft.
In Bernoullis Gleichung ist implizit enthalten, dass die Energie einer Flüssigkeit aus drei Komponenten besteht:
- Eine kinetische Komponente, die sich aus der Geschwindigkeit ergibt, mit der sich die Flüssigkeit bewegt.
- Eine potenzielle oder Gravitationskomponente, die auf die Höhe der Flüssigkeit zurückzuführen ist.
- Eine Druckenergie, die die Flüssigkeit ist, die die Flüssigkeit aufgrund des Drucks besitzt, dem sie ausgesetzt ist.
Andererseits kann die Bernoulli-Gleichung auch folgendermaßen ausgedrückt werden:
v 1 2 ≤ 2/2 + P 1 + ≤ g ≤ z 1 = v 2 2 ≤ / 2 + P 2 + ≤ g ≤ z 2
Dieser letzte Ausdruck ist sehr praktisch, um die Änderungen zu analysieren, die eine Flüssigkeit erfährt, wenn sich eines der Elemente, aus denen die Gleichung besteht, ändert.
Vereinfachte Form
In bestimmten Fällen ist die Änderung des ρgz-Terms der Bernoulli-Gleichung im Vergleich zu den anderen Termen minimal und kann daher vernachlässigt werden. Dies geschieht beispielsweise bei Strömungen, die ein Flugzeug im Flug erfährt.
Bei diesen Gelegenheiten wird die Bernoulli-Gleichung wie folgt ausgedrückt:
P + q = P 0
In diesem Ausdruck ist q dynamischer Druck und entspricht v 2 ∙ ƿ / 2, und P 0 ist der sogenannte Gesamtdruck und ist die Summe des statischen Drucks P und des dynamischen Drucks q.
Anwendungen
Der Satz von Bernoulli hat vielfältige Anwendungen in so unterschiedlichen Bereichen wie Wissenschaft, Technik, Sport usw.
Eine interessante Anwendung findet sich in der Gestaltung von Kaminen. Die Schornsteine sind hoch gebaut, um einen größeren Druckunterschied zwischen Boden und Schornsteinauslass zu erreichen, wodurch die Verbrennungsgase leichter abgesaugt werden können.
Natürlich gilt die Bernoulli-Gleichung auch für die Untersuchung der Bewegung von Flüssigkeitsströmen in Rohren. Aus der Gleichung folgt, dass eine Verringerung der Querschnittsfläche des Rohrs, um die Geschwindigkeit des durchströmenden Fluids zu erhöhen, auch einen Druckabfall impliziert.
Die Bernoulli-Gleichung wird auch in der Luftfahrt und in Formel-1-Fahrzeugen verwendet. In der Luftfahrt ist der Bernoulli-Effekt der Ursprung des Auftriebs von Flugzeugen.
Flugzeugflügel sind mit dem Ziel konstruiert, einen größeren Luftstrom an der Oberseite des Flügels zu erreichen.
Somit ist im oberen Teil des Flügels die Luftgeschwindigkeit hoch und daher der Druck niedriger. Diese Druckdifferenz erzeugt eine vertikale Aufwärtskraft (Auftriebskraft), die es dem Flugzeug ermöglicht, in der Luft zu bleiben. Ein ähnlicher Effekt wird bei den Querrudern von Formel-1-Fahrzeugen erzielt.
Übung gelöst
Ein Wasserstrahl fließt mit 5,18 m / s durch ein Rohr mit einem Querschnitt von 4,2 cm 2 . Das Wasser steigt von einer Höhe von 9,66 m auf eine niedrigere Ebene mit einer Höhe von null an, während die Querschnittsfläche des Rohrs auf 7,6 cm 2 ansteigt .
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Wasserstroms auf der unteren Ebene.
b) Bestimmen Sie den Druck auf der unteren Ebene in dem Wissen, dass der Druck auf der oberen Ebene 152000 Pa beträgt.
Lösung
a) Da der Fluss erhalten bleiben muss, gilt Folgendes:
Q obere Ebene = Q untere Ebene
v 1 . S 1 = v 2 . S 2
5,18 m / s. 4,2 cm 2 = v 2 . 7,6 cm ^ 2
Wenn man nach löst, erhält man Folgendes:
v 2 = 2,86 m / s
b) Unter Anwendung des Bernoulli-Theorems zwischen den beiden Ebenen und unter Berücksichtigung der Wasserdichte von 1000 kg / m 3 wird Folgendes erhalten:
v 1 2 ≤ 2/2 + P 1 + ≤ g ≤ z 1 = v 2 2 ≤ / 2 + P 2 + ≤ g ≤ z 2
(1/2). 1000 kg / m 3 . (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 9,66 m =
= (1/2). 1000 kg / m 3 . (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 0 m
Wenn wir nach P 2 auflösen, erhalten wir:
P 2 = 257926,4 Pa
Verweise
- Bernoullis Prinzip. (nd). Auf Wikipedia. Abgerufen am 12. Mai 2018 von es.wikipedia.org.
- Bernoullis Prinzip. (nd). In Wikipedia. Abgerufen am 12. Mai 2018 von en.wikipedia.org.
- Batchelor, GK (1967). Eine Einführung in die Fluiddynamik. Cambridge University Press.
- Lamb, H. (1993). Hydrodynamik (6. Aufl.). Cambridge University Press.
- Mott, Robert (1996). Angewandte Strömungsmechanik (4. Aufl.). Mexiko: Pearson Education.