WARTESCHLANGENTHEORIE: GESCHICHTE, MODELL, WOFÜR ES IST UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Warteschlangentheorie ist der Zweig der Mathematik, der die Phänomene und Verhaltensweisen in Warteschlangen untersucht. Sie werden definiert, wenn ein Benutzer, der einen bestimmten Dienst anfordert, auf die Verarbeitung des Servers wartet.

Untersuchen Sie die Elemente, die in den Warteschlangen eines beliebigen Typs vorhanden sind, unabhängig davon, ob es sich um menschliche Elemente, Datenverarbeitung oder Operationen handelt. Seine Schlussfolgerungen sind in Produktions-, Registrierungs- und Verarbeitungslinien von ständiger Bedeutung.

Pexels Schriftart

Ihre Werte dienen der Parametrisierung von Prozessen vor ihrer Implementierung und als zentrales organisatorisches Element für das korrekte Planungsmanagement.

Geschichte

Der Hauptverantwortliche für seine Entwicklung war der in Dänemark geborene Mathematiker Agner Kramp Erlang, der bei der Telekommunikationsfirma Copenhagen Telephone Exchange arbeitete.

Agner stellte fest, dass die wachsenden Anforderungen an das Telefondienst-Bereitstellungssystem des Unternehmens zunehmen. Aus diesem Grund begann die Untersuchung mathematischer Phänomene, die im Warteschlangensystem quantifiziert werden konnten.

Seine erste offizielle Veröffentlichung war ein Artikel mit dem Titel Queuing Theory, der 1909 veröffentlicht wurde. Sein Schwerpunkt lag hauptsächlich auf dem Problem der Dimensionierung von Leitungen und Telefonvermittlungsstellen für Anrufdienste.

Modell und Elemente

Es gibt verschiedene Modelle von Warteschlangen, bei denen einige Aspekte für die Definition und Charakterisierung der einzelnen Warteschlangen verantwortlich sind. Vor dem Definieren der Modelle werden die Elemente vorgestellt, aus denen jedes Warteschlangenmodell besteht.

-Elemente

Quelle des Eintritts oder potenzielle Bevölkerung

Es ist die Menge möglicher Bewerber für die Dienstleistung. Dies gilt für jede Art von Variable, von menschlichen Benutzern bis zu Datenpaketsätzen. Sie werden je nach Art der Menge in endlich und unendlich klassifiziert.

Der Schweif

Es bezieht sich auf die Gruppe von Elementen, die bereits Teil des Service-Systems sind. Die bereits zugestimmt haben, auf die Verfügbarkeit des Betreibers zu warten. Sie warten auf Systemauflösungen.

-Das Hecksystem

Es besteht aus der Triade, die aus der Warteschlange, dem Servicemechanismus und der Disziplin der Warteschlange besteht. Es gibt dem Systemprotokoll eine Struktur, die die Auswahlkriterien für Elemente in der Warteschlange regelt.

- Service - Mechanismus

Dies ist der Prozess, durch den der Dienst jedem Benutzer bereitgestellt wird.

-Klient

Es ist jedes Element der potenziellen Bevölkerung, das eine Dienstleistung verlangt. Es ist wichtig, die Eintrittsrate der Kunden sowie die Wahrscheinlichkeit zu kennen, mit der die Quelle sie generiert.

-Queue Kapazität

Es bezieht sich auf die maximale Kapazität von Artikeln, die darauf warten können, bedient zu werden. Es kann als endlich oder unendlich betrachtet werden und ist in den meisten Fällen nach praktischen Kriterien unendlich.

-Disziplin der Warteschlange

Es ist das Protokoll, nach dem die Reihenfolge bestimmt wird, in der der Kunde bedient wird. Es dient als Verarbeitungs- und Bestellkanal für Benutzer, die für ihre Disposition und Bewegung innerhalb der Warteschlange verantwortlich sind. Nach Ihren Kriterien kann es verschiedene Arten geben.

- FIFO: Vom englischen Akronym First in first out, auch bekannt als FCFS first come first serve. Was bedeutet, dass First in First Out und First In First serviert werden. Beide Formulare bedeuten, dass der erste Kunde, der ankommt, der erste ist, der bedient wird.

- LIFO: Last In First Out, auch als Stack oder LCFS Last Come First Served bezeichnet. Wo der zuletzt angekommene Kunde zuerst bedient wird.

- RSS: Zufällige Auswahl des Dienstes, auch SIRO-Dienst genannt, in zufälliger Reihenfolge, wobei Kunden nach zufälligen oder zufälligen Kriterien ausgewählt werden.

Modelle

Es gibt drei Aspekte, die das zu berücksichtigende Warteschlangenmodell bestimmen. Dies sind die folgenden:

- Zeitverteilung zwischen Ankünften: Bezieht sich auf die Rate, mit der Einheiten zur Warteschlange hinzugefügt werden. Sie sind Funktionswerte und unterliegen je nach Art unterschiedlichen Variablen.

- Verteilung der Dienstzeit: Zeit, die der Server zur Verarbeitung des vom Client angeforderten Dienstes verwendet. Sie hängt von der Anzahl der festgelegten Operationen oder Verfahren ab.

Diese beiden Aspekte können folgende Werte annehmen:

M: exponentielle Exponentialverteilung (Markoviana).

D: Entartete Verteilung (konstante Zeiten).

E _k : Erlangverteilung mit Formparameter k.

G: Allgemeine Verteilung (jede Verteilung).

- Anzahl der Server: Service-Gates sind geöffnet und für die Verarbeitung von Clients verfügbar. Sie sind für die strukturelle Definition jedes Warteschlangenmodells von wesentlicher Bedeutung.

Auf diese Weise werden die Warteschlangenmodelle definiert, wobei zunächst die Initialen in Großbuchstaben der Ankunftszeitverteilung und der Servicezeitverteilung verwendet werden. Schließlich wird die Anzahl der Server untersucht.

Ein ziemlich häufiges Beispiel ist MM 1, das sich auf eine exponentielle Art der Ankunfts- und Servicezeitverteilung bezieht, während mit einem einzelnen Server gearbeitet wird.

Andere Arten von Warteschlangenmodellen sind unter anderem MMs, MG 1, ME 1, DM 1.

Arten von Warteschlangensystemen

Es gibt verschiedene Arten von Warteschlangensystemen, bei denen mehrere Variablen als Indikatoren für den dargestellten Systemtyp dienen. Grundsätzlich wird es jedoch von der Anzahl der Warteschlangen und der Anzahl der Server bestimmt. Es gilt auch die lineare Struktur, der der Benutzer ausgesetzt ist, um den Dienst zu erhalten.

- Eine Warteschlange und ein Server. Es ist die übliche Struktur, bei der der Benutzer über das Ankunftssystem in die Warteschlange eintritt, wo er nach Abschluss seiner Wartezeit gemäß der Disziplin der Warteschlange vom einzigen Server verarbeitet wird.

- Eine Warteschlange und mehrere Server. Der Benutzer kann am Ende seiner Wartezeit zu verschiedenen Servern gehen, die Ausführer derselben Prozesse sein können, und sie können für verschiedene Prozeduren privat sein.

- Mehrere Warteschlangen und mehrere Server. Die Struktur kann für verschiedene Prozesse unterteilt werden oder als breiter Kanal dienen, um eine hohe Nachfrage nach gemeinsamen Diensten abzudecken.

- Eine Warteschlange mit sequentiellen Servern. Benutzer durchlaufen verschiedene Phasen. Sie treten ein und nehmen einen Platz in der Warteschlange ein. Wenn sie vom ersten Server bedient werden, gelangen sie in eine neue Phase, die vorherige Erfüllungen im ersten Dienst erfordert.

Terminologie

- λ: Dieses Symbol (Lambda) repräsentiert in der Warteschlangentheorie den erwarteten Wert der Eingaben pro Zeitintervall.

- 1 / λ: Entspricht dem erwarteten Wert zwischen den Ankunftszeiten jedes Benutzers, der das System betritt.

- μ: Das Symbol Mu entspricht der erwarteten Anzahl von Clients, die den Service pro Zeiteinheit ausführen. Dies gilt für jeden Server.

- 1 / μ: Vom System erwartete Servicezeit.

- ρ: Das Symbol Rho kennzeichnet den Auslastungsfaktor des Servers. Es wird verwendet, um zu messen, wie viel Zeit der Server mit der Verarbeitung von Benutzern beschäftigt sein wird.

ρ = λ / sμ

Wenn p> 1 ist, ist das System vorübergehend und wächst tendenziell, da die Dienstprogrammrate des Servers unter der Anzahl der Benutzer liegt, die das System betreten.

Wenn p <1 ist, bleibt das System stabil.

Wofür ist die Theorie?

Es wurde erstellt, um die Bereitstellungsprozesse für Telefondienste zu optimieren. Dies grenzt eine Nützlichkeit in Bezug auf das Phänomen der Warteschlangen ab, bei dem versucht wird, die Zeitwerte zu reduzieren und jede Art von Nacharbeit oder redundantem Prozess abzubrechen, der den Prozess von Benutzern und Bedienern verlangsamt.

Pexels Schriftart

Auf komplexeren Ebenen, auf denen die Eingabe- und Dienstvariablen gemischte Werte annehmen, sind Berechnungen, die außerhalb der Warteschlangentheorie durchgeführt werden, fast undenkbar. Die von der Theorie bereitgestellten Formeln eröffneten fortgeschrittene Berechnungen innerhalb dieses Zweigs.

Elemente in Formeln vorhanden

- Pn: Wert, der sich auf die Wahrscheinlichkeit bezieht, dass sich „n“ Einheiten im System befinden.

- Lq: Länge der Warteschlange oder Durchschnittswert der Benutzer darin.

- Ls: Durchschnitt der Einheiten im System.

- Wq: Durchschnittliche Wartezeit in der Warteschlange.

- Ws: Durchschnittliche Wartezeit im System.

- _λ: Durchschnittliche Anzahl von Clients, die den Dienst betreten.

- Ws (t): Wert, der sich auf die Wahrscheinlichkeit bezieht, dass ein Kunde mehr als "t" Einheiten im System bleibt.

- Wq (t): Wert, der sich auf die Wahrscheinlichkeit bezieht, dass ein Kunde mehr als "t" Einheiten in der Warteschlange bleibt.

Beispiele

Eine Registrierung verfügt über einen einzelnen Server, auf dem die Pässe der Benutzer verarbeitet werden, die kommen. Durchschnittlich 35 Benutzer pro Stunde besuchen die Registrierung. Der Server kann 45 Benutzer pro Stunde bedienen. Es ist bereits bekannt, dass Benutzer durchschnittlich 5 Minuten in der Warteschlange verbringen.

Sie wollen wissen:

1. Durchschnittliche Zeit, die jeder Benutzer im System verbringt
2. Durchschnittliche Anzahl der Kunden in der Warteschlange

Wir haben λ = 35/45 Kunden / Minuten

μ = 45/60 Kunden / Minuten

Wq = 5 Minuten

Teil A.

Die durchschnittliche Zeit im System kann mit Ws berechnet werden

Ws = Wq + 1 / μ = 5 Minuten + 1,33 = 6,33 Minuten

Auf diese Weise wird die Gesamtzeit definiert, die sich der Benutzer im System befindet, wobei sich 5 Minuten in der Warteschlange und 1,33 Minuten mit dem Server befinden.

Teil b

Lq = λ x Wq

Lq = (0,78 Clients Minuten) x (5 Minuten) = 3,89 Clients

Es können mehr als 3 Clients gleichzeitig in der Warteschlange sein.

Verweise

1. Betriebsmanagement. Editorial Vértice, 16. April. 2007
2. Theorie der Warteschlangen oder Warteschlangen. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Die Systemtheorie löste Probleme. Roberto Sanchis Llopis. Veröffentlichungen der Universitat Jaume I, 2002
4. Quantitative Methoden der industriellen Organisation II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. aus Katalonien, 2009
5. Inventartheorie und ihre Anwendung. Editorial Pax-México, 1967