WAS SIND KOPLANARE VEKTOREN? (MIT GELÖSTEN ÜBUNGEN) - KÖRPERLICH - 2025

Die koplanaren Vektoren oder koplanaren sind diejenigen, die in derselben Ebene enthalten sind. Wenn es nur zwei Vektoren gibt, sind diese immer koplanar, da es unendlich viele Ebenen gibt, ist es immer möglich, eine auszuwählen, die sie enthält.

Wenn Sie drei oder mehr Vektoren haben, kann es sein, dass sich einige von ihnen nicht in derselben Ebene wie die anderen befinden und daher nicht als koplanar betrachtet werden können. Die folgende Abbildung zeigt einen Satz koplanarer Vektoren, die in Fettdruck A , B , C und D angegeben sind :

Figure 1. Vier koplanare Vektoren. Quelle: selbst gemacht.

Vektoren beziehen sich auf das Verhalten und die Eigenschaften physikalischer Größen, die für Wissenschaft und Technik relevant sind. zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung und Kraft.

Eine Kraft erzeugt unterschiedliche Effekte auf ein Objekt, wenn die Art und Weise, wie es angewendet wird, variiert wird, beispielsweise durch Ändern von Intensität, Richtung und Richtung. Selbst wenn nur einer dieser Parameter geändert wird, sind die Ergebnisse erheblich unterschiedlich.

In vielen statischen und dynamischen Anwendungen liegen die auf einen Körper einwirkenden Kräfte auf derselben Ebene, daher werden sie als koplanar angesehen.

Bedingungen, unter denen die Vektoren koplanar sein müssen

Damit drei Vektoren koplanar sind, müssen sie auf derselben Ebene liegen. Dies geschieht, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfüllen:

-Vektoren sind parallel, daher sind ihre Komponenten proportional und linear abhängig.

-Ihr gemischtes Produkt ist null.

-Wenn Sie drei Vektoren haben und einer von ihnen als lineare Kombination der beiden anderen geschrieben werden kann, sind diese Vektoren koplanar. Beispiel: Bei einem Vektor, der sich aus der Summe von zwei anderen ergibt, befinden sich die drei alle in derselben Ebene.

Alternativ kann die Koplanaritätsbedingung wie folgt eingestellt werden:

Mischprodukt zwischen drei Vektoren

Das gemischte Produkt zwischen Vektoren wird mit drei Vektoren u , v und w definiert, was zu einem Skalar führt, der sich aus der Ausführung der folgenden Operation ergibt:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Zuerst wird das in Klammern stehende Kreuzprodukt ausgeführt: v x w , dessen Ergebnis ein Normalenvektor (senkrecht) zu der Ebene ist, in der sowohl v als auch w liegen .

Wenn u auf derselben Ebene wie v und w liegt , muss natürlich das Skalarprodukt (Punktprodukt) zwischen u und dem Normalenvektor 0 sein. Auf diese Weise wird überprüft, dass die drei Vektoren koplanar sind (sie liegen auf derselben Ebene).

Wenn das gemischte Produkt nicht Null ist, ist sein Ergebnis gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das die Vektoren u , v und w als benachbarte Seiten hat.

Anwendungen

Koplanare, gleichzeitige und nicht kollineare Kräfte

Die gleichzeitigen Kräfte werden alle auf denselben Punkt ausgeübt. Wenn sie auch koplanar sind, können sie durch eine einzige ersetzt werden, die als resultierende Kraft bezeichnet wird und den gleichen Effekt wie die ursprünglichen Kräfte hat.

Wenn sich ein Körper dank der drei gleichzeitigen und nicht kollinearen (nicht parallelen) koplanaren Kräfte ( A , B und C ) im Gleichgewicht befindet , zeigt der Satz von Lamy, dass die Beziehung zwischen diesen Kräften (Größen) die folgende ist:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Mit α, β und γ als entgegengesetzten Winkeln zu den ausgeübten Kräften, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Abbildung 2. Drei koplanare Kräfte A, B und C wirken auf ein Objekt. Quelle: Kiwakwok bei der englischen Wikipedia

Gelöste Übungen

-Übung 1

Finden Sie den Wert von k so, dass die folgenden Vektoren koplanar sind:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Lösung

Da wir die Komponenten der Vektoren haben, wird das Kriterium des gemischten Produkts verwendet, daher:

u ( v x w ) = 0

Löse zuerst v x w. Die Vektoren werden als Einheitsvektoren i , j und k ausgedrückt , die die drei senkrechten Richtungen im Raum (Breite, Höhe und Tiefe) unterscheiden:

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nun betrachten wir das Skalarprodukt zwischen u und dem Vektor, das sich aus der vorherigen Operation ergeben hat, und setzen die Operation auf 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4 k + 18 = 0

24 + 4k = 0

Der gesuchte Wert ist: k = - 6

Der Vektor u ist also:

u = <-3, -6, 2>

-Übung 2

Die Abbildung zeigt ein Objekt mit einem Gewicht von W = 600 N, das dank der in den in Abbildung 3 gezeigten Winkeln verlegten Kabel im Gleichgewicht hängt. Ist es in dieser Situation möglich, den Satz von Lamy anzuwenden? Finden Sie in jedem Fall die Größen von T ₁ , T ₂ und T ₃ , die das Gleichgewicht ermöglichen.

Abbildung 3. Ein Gewicht hängt im Gleichgewicht unter der Wirkung der drei gezeigten Spannungen. Quelle: selbst gemacht.

Lösung

Der Satz von Lamy ist in dieser Situation anwendbar, wenn der Knoten berücksichtigt wird, auf den die drei Spannungen angewendet werden, da sie ein System koplanarer Kräfte darstellen. Zunächst wird das Freikörperdiagramm für das Hängegewicht erstellt, um die Größe von T ₃ zu bestimmen _:

Abbildung 4. Freikörperdiagramm zum Aufhängen des Gewichts. Quelle: selbst gemacht.

Aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:

Die Winkel zwischen den Kräften sind in der folgenden Abbildung rot markiert. Es kann leicht überprüft werden, ob ihre Summe 360 ​​° beträgt. Nun ist es möglich, Lamys Theorem anzuwenden, da eine der Kräfte und die drei Winkel zwischen ihnen bekannt sind:

Abbildung 5.- In rot die Winkel zur Anwendung des Lamyschen Theorems. Quelle: selbst gemacht.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Daher gilt: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498,5 N.

Wieder wird Lamys Theorem angewendet, um nach T ₂ zu lösen :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N.

Verweise

1. Figueroa, D. Reihe: Physik für Naturwissenschaften und Technik. Band 1. Kinematik. 31-68.
2. Körperlich. Modul 8: Vektoren. Wiederhergestellt von: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanik für Ingenieure. Statisch 6. Auflage. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanik für Ingenieure: Statik und Dynamik. 3. Auflage. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.