WAS SIND TRIGONOMETRISCHE GRENZEN? (ÜBUNGEN GELÖST) - MATHE - 2025

Die trigonometrischen Grenzen sind Grenzen von Funktionen, so dass diese Funktionen durch trigonometrische Funktionen gebildet werden.

Es gibt zwei Definitionen, die bekannt sein müssen, um zu verstehen, wie eine trigonometrische Grenze berechnet wird.

Diese Definitionen sind:

- Grenze einer Funktion «f», wenn «x» zu «b» tendiert: Sie besteht aus der Berechnung des Wertes, dem sich f (x) nähert, wenn sich «x» «b» nähert, ohne «b» zu erreichen. ».

- Trigonometrische Funktionen: Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, Cosinus- und Tangentenfunktionen, die mit sin (x), cos (x) bzw. tan (x) bezeichnet werden.

Die anderen trigonometrischen Funktionen werden aus den drei oben genannten Funktionen erhalten.

Funktionsgrenzen

Um das Konzept einer Funktionsgrenze zu verdeutlichen, werden wir einige Beispiele mit einfachen Funktionen zeigen.

- Die Grenze von f (x) = 3, wenn "x" zu "8" tendiert, ist gleich "3", da die Funktion immer konstant ist. Egal wie viel "x" wert ist, der Wert von f (x) ist immer "3".

- Die Grenze von f (x) = x-2, wenn «x» zu «6» tendiert, ist «4». Seit "x" sich "6" nähert, nähert sich "x-2" "6-2 = 4".

- Die Grenze von g (x) = x², wenn "x" zu "3" tendiert, ist gleich 9, denn wenn "x" sich "3" nähert, nähert sich "x²" "3² = 9". .

Wie in den vorherigen Beispielen zu sehen ist, besteht die Berechnung eines Grenzwerts darin, den Wert zu bewerten, zu dem "x" in der Funktion tendiert, und das Ergebnis ist der Wert des Grenzwerts, obwohl dies nur für kontinuierliche Funktionen gilt.

Gibt es kompliziertere Grenzen?

Die Antwort ist ja. Die obigen Beispiele sind die einfachsten Beispiele für Grenzwerte. In Kalkülbüchern sind die Hauptgrenzübungen diejenigen, die eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 und (∞) erzeugen. ^ 0.

Diese Ausdrücke werden Unbestimmtheiten genannt, da sie Ausdrücke sind, die mathematisch keinen Sinn ergeben.

Zusätzlich kann in Abhängigkeit von den Funktionen, die an der ursprünglichen Grenze beteiligt sind, das Ergebnis, das beim Lösen der Unbestimmtheiten erhalten wird, in jedem Fall unterschiedlich sein.

Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen

Um Grenzen zu lösen, ist es immer sehr nützlich, die Diagramme der beteiligten Funktionen zu kennen. Die Diagramme der Sinus-, Cosinus- und Tangentenfunktionen sind unten dargestellt.

Einige Beispiele für einfache trigonometrische Grenzen sind:

- Berechnen Sie die Grenze von sin (x), wenn «x» zu «0» tendiert.

Wenn man sich das Diagramm ansieht, kann man sehen, dass, wenn "x" näher an "0" kommt (sowohl von links als auch von rechts), das Sinusdiagramm auch näher an "0" kommt. Daher ist die Grenze von sin (x), wenn "x" zu "0" tendiert, "0".

- Berechnen Sie die Grenze von cos (x), wenn «x» zu «0» tendiert.

Wenn man den Graphen des Kosinus betrachtet, kann man sehen, dass, wenn "x" nahe bei "0" liegt, der Graph des Kosinus nahe bei "1" liegt. Dies impliziert, dass die Grenze von cos (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "1" ist.

Wie in den vorherigen Beispielen kann ein Limit existieren (eine Zahl sein), es kann jedoch auch vorkommen, dass es nicht existiert, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

- Die Grenze von tan (x), wenn «x» von links zu «Π / 2» tendiert, ist gleich «+ ∞», wie in der Grafik zu sehen ist. Andererseits ist die Grenze von tan (x), wenn "x" von rechts zu "-Π / 2" tendiert, gleich "-∞".

Trigonometrische Grenzwerte Identitäten

Zwei sehr nützliche Identitäten bei der Berechnung trigonometrischer Grenzen sind:

- Die Grenze von «sin (x) / x», wenn «x» zu «0» tendiert, ist gleich «1».

- Die Grenze von «(1-cos (x)) / x», wenn «x» zu «0» tendiert, ist gleich «0».

Diese Identitäten werden sehr oft verwendet, wenn Sie eine Art Unbestimmtheit haben.

Gelöste Übungen

Lösen Sie die folgenden Grenzwerte mit den oben beschriebenen Identitäten.

- Berechnen Sie die Grenze von «f (x) = sin (3x) / x», wenn «x» zu «0» tendiert.

Wenn die Funktion "f" bei "0" ausgewertet wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten. Daher müssen wir versuchen, diese Unbestimmtheit unter Verwendung der beschriebenen Identitäten zu lösen.

Der einzige Unterschied zwischen dieser Grenze und der Identität ist die Nummer 3, die innerhalb der Sinusfunktion erscheint. Um die Identität anzuwenden, muss die Funktion «f (x)» folgendermaßen umgeschrieben werden: «3 * (sin (3x) / 3x)». Jetzt sind sowohl das Sinusargument als auch der Nenner gleich.

Wenn also "x" zu "0" tendiert, ergibt die Verwendung der Identität "3 * 1 = 3". Daher ist die Grenze von f (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "3".

- Berechnen Sie die Grenze von «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», wenn «x» zu «0» tendiert.

Wenn "x = 0" in g (x) eingesetzt wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ ∞-∞ erhalten. Um es zu lösen, werden zuerst die Brüche subtrahiert, was "(1-cos (x)) / x" ergibt.

Wenn wir nun die zweite trigonometrische Identität anwenden, haben wir, dass die Grenze von g (x), wenn «x» zu «0» tendiert, gleich 0 ist.

- Berechnen Sie die Grenze von «h (x) = 4tan (5x) / 5x», wenn «x» zu «0» tendiert.

Wenn wiederum h (x) bei "0" bewertet wird, wird eine Unbestimmtheit vom Typ 0/0 erhalten.

Das Umschreiben als (5x) als sin (5x) / cos (5x) führt zu h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Unter Verwendung dessen ist die Grenze von 4 / cos (x), wenn "x" zu "0" tendiert, gleich "4/1 = 4" und die erste trigonometrische Identität wird erhalten, dass die Grenze von h (x), wenn "x" tendiert eine "0" ist gleich "1 * 4 = 4".

Überwachung

Trigonometrische Grenzen sind nicht immer leicht zu lösen. In diesem Artikel wurden nur grundlegende Beispiele gezeigt.

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