POLYTROPISCHER PROZESS: EIGENSCHAFTEN, ANWENDUNGEN UND BEISPIELE - KÖRPERLICH - 2025

Ein polytropischer Prozess ist ein thermodynamischer Prozess, der auftritt, wenn die durch PV ⁿ gegebene Beziehung zwischen Druck P und Volumen V konstant gehalten wird. Der Exponent n ist eine reelle Zahl, im Allgemeinen zwischen Null und Unendlich, kann aber in einigen Fällen negativ sein.

Der Wert von n wird als Polytropieindex bezeichnet, und es ist wichtig zu beachten, dass während eines polytropischen thermodynamischen Prozesses dieser Index einen festen Wert beibehalten muss, da der Prozess sonst nicht als polytropisch betrachtet wird.

Figure 1. Charakteristische Gleichung eines polytropen thermodynamischen Prozesses. Quelle: F. Zapata.

Eigenschaften polytropischer Prozesse

Einige charakteristische Fälle von polytropischen Prozessen sind:

- Der isotherme Prozess (bei konstanter Temperatur T), bei dem der Exponent n = 1 ist.

- Ein isobarer Prozess (bei konstantem Druck P), in diesem Fall n = 0.

- Der isochore Prozess (bei konstantem Volumen V), für den n = + ∞ ist.

- Adiabatische Prozesse (bei konstanter S-Entropie), bei denen der Exponent n = γ ist, wobei γ die adiabatische Konstante ist. Diese Konstante ist der Quotient zwischen der Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp geteilt durch die Wärmekapazität bei konstantem Volumen Cv:

γ = Cp / Cv

- Jeder andere thermodynamische Prozess, der nicht zu den vorherigen Fällen gehört. Aber das erfüllt PV ⁿ = ctte mit einem realen und konstanten polytropischen Index n wird auch ein polytropischer Prozess sein.

Figure 2. Verschiedene charakteristische Fälle polytropischer thermodynamischer Prozesse. Quelle: Wikimedia Commons.

Anwendungen

Eine der Hauptanwendungen der polytropischen Gleichung besteht darin, die Arbeit eines geschlossenen thermodynamischen Systems zu berechnen, wenn es quasistatisch, dh nach einer Abfolge von Gleichgewichtszuständen, von einem Anfangszustand in einen Endzustand übergeht.

Arbeiten Sie an polytropischen Prozessen für verschiedene Werte von n

Für n ≠ 1

Die mechanische Arbeit W, die von einem geschlossenen thermodynamischen System ausgeführt wird, wird durch den Ausdruck berechnet:

W = ∫P.dV

Wobei P Druck und V Volumen ist.

Wie bei einem polytropischen Prozess ist die Beziehung zwischen Druck und Volumen:

Wir haben die mechanische Arbeit während eines polytropischen Prozesses erledigt, der in einem Anfangszustand 1 beginnt und im Endzustand 2 endet. All dies erscheint im folgenden Ausdruck:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Durch Ersetzen des Wertes der Konstante im Arbeitsausdruck erhalten wir:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

Für den Fall, dass der Arbeitsstoff als ideales Gas modelliert werden kann, haben wir folgende Zustandsgleichung:

PV = mRT

Dabei ist m die Molzahl des idealen Gases und R die universelle Gaskonstante.

Für ein ideales Gas, das einem polytropischen Prozess mit einem von der Einheit verschiedenen Polytropieindex folgt und von einem Zustand mit der Anfangstemperatur T ₁ in einen anderen Zustand mit der Temperatur T ₂ übergeht , wird die geleistete Arbeit durch die folgende Formel gegeben:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

Für n → ∞

Nach der Formel für die im vorherigen Abschnitt erhaltene Arbeit haben wir, dass die Arbeit eines polytropischen Prozesses mit n = ∞ null ist, weil der Ausdruck der Arbeit durch unendlich geteilt wird und das Ergebnis daher gegen Null tendiert .

Eine andere Möglichkeit, zu diesem Ergebnis zu gelangen, besteht darin, von der Beziehung P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ auszugehen, die wie folgt umgeschrieben werden kann:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V ₁ ) ⁿ

Wenn wir die n-te Wurzel in jedem Mitglied ziehen, erhalten wir:

(V ₂ / V ₁ ) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

Für den Fall, dass n → ∞ ist, haben wir (V ₂ / V1) = 1, was bedeutet, dass:

V ₂ = V ₁

Das heißt, das Volumen ändert sich in einem polytropischen Prozess mit n → ∞ nicht. Daher beträgt die Volumendifferenz dV im Integral der mechanischen Arbeit 0. Diese Art von polytropischen Prozessen wird auch als isochore Prozesse oder Prozesse mit konstantem Volumen bezeichnet.

Für n = 1

Wieder haben wir den Ausdruck der Ausdruck für Arbeit:

W = ∫P dV

Bei einem polytropischen Prozess mit n = 1 beträgt die Beziehung zwischen Druck und Volumen:

PV = konstant = C.

Durch Lösen von P aus dem vorherigen Ausdruck und Ersetzen haben wir die Arbeit erledigt, um vom Anfangszustand 1 zum Endzustand 2 zu gelangen:

Das heißt:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Da der Anfangs- und der Endzustand gut bestimmt sind, wird auch der Ctte gut bestimmt. Das heißt:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Schließlich haben wir die folgenden nützlichen Ausdrücke, um die mechanische Arbeit eines geschlossenen polytropischen Systems zu finden, in dem n = 1 ist.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Wenn der Arbeitsstoff aus Mol Mol idealem Gas besteht, kann die ideale Gaszustandsgleichung angewendet werden: PV = mRT

In diesem Fall haben wir , da PV ₁ = ctte, dass ein polytropischer Prozess mit n = 1 ein Prozess bei konstanter Temperatur T (isotherm) ist, so dass die folgenden Ausdrücke für die Arbeit erhalten werden können:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Abbildung 3. Ein schmelzender Eiszapfen, Beispiel eines isothermen Prozesses. Quelle: Pixabay.

Beispiele für polytrope Prozesse

- Beispiel 1

Angenommen, ein Zylinder mit einem beweglichen Kolben ist mit einem Kilogramm Luft gefüllt. Anfangs nimmt die Luft ein Volumen V ₁ = 0,2 m ³ bei einem Druck P ₁ = 400 kPa ein. Ein polytropischer Prozess wird mit n = γ = 1,4 verfolgt, dessen Endzustand den Druck P ₂ = 100 kPa hat. Bestimmen Sie die Arbeit der Luft am Kolben.

Lösung

Wenn der Polytropieindex gleich der adiabatischen Konstante ist, gibt es einen Prozess, bei dem der Arbeitsstoff (Luft) keine Wärme mit der Umgebung austauscht und sich daher auch die Entropie nicht ändert.

Für Luft, ein zweiatomiges ideales Gas, haben wir:

γ = Cp / Cv, mit Cp = (7/2) R und Cv = (5/2) R.

So:

γ = 7/5 = 1,4

Unter Verwendung des Ausdrucks des polytropischen Prozesses kann das Endvolumen der Luft bestimmt werden:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Jetzt haben wir die Bedingungen, um die Formel der Arbeit anzuwenden, die in einem polytropischen Prozess für n ≠ 1 ausgeführt wurde:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

Ersetzen Sie die entsprechenden Werte, die wir haben:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Beispiel 2

Nehmen Sie den gleichen Zylinder aus Beispiel 1 mit einem beweglichen Kolben an, der mit einem Kilogramm Luft gefüllt ist. Die Luft nimmt zunächst ein Volumen V1 = 0,2 m ³ bei einem Druck P1 = 400 kPa ein. Im Gegensatz zum vorherigen Fall dehnt sich die Luft jedoch isotherm aus, um einen Enddruck P2 = 100 kPa zu erreichen. Bestimmen Sie die Arbeit der Luft am Kolben.

Lösung

Wie bereits erwähnt, sind isotherme Prozesse polytrope Prozesse mit dem Index n = 1. Es ist also richtig, dass:

P1 V1 = P2 V2

Auf diese Weise kann das endgültige Volumen leicht abgenommen werden, um Folgendes zu erhalten:

V2 = 0,8 m ³

Unter Verwendung des zuvor für den Fall n = 1 erhaltenen Arbeitsausdrucks ergibt sich dann die Arbeit, die die Luft am Kolben in diesem Prozess leistet:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

Verweise

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