ARCHIMEDES 'PRINZIP: FORMEL, BEWEIS, ANWENDUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Das Archimedes - Prinzip besagt, dass ein ganz oder teilweise eingetauchter Körper eine vertikale Aufwärtskraft erhält, die als Schub bezeichnet wird und dem Gewicht des vom Körper verdrängten Flüssigkeitsvolumens entspricht.

Einige Objekte schwimmen im Wasser, andere sinken und andere tauchen teilweise unter. Um einen Wasserball zu versenken, muss man sich anstrengen, denn sofort wird die Kraft wahrgenommen, die versucht, ihn wieder an die Oberfläche zu bringen. Stattdessen sinkt eine Metallkugel schnell.

Abbildung 1. Schwimmende Ballons: Das Prinzip von Archimedes in Aktion. Quelle: Pixabay.

Auf der anderen Seite scheinen untergetauchte Objekte leichter zu sein, daher übt die Flüssigkeit eine Kraft aus, die dem Gewicht entgegenwirkt. Aber es kann die Schwerkraft nicht immer vollständig ausgleichen. Und obwohl dies bei Wasser offensichtlicher ist, können Gase diese Kraft auch auf in sie eingetauchte Objekte ausüben.

Geschichte

Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) War derjenige, der dieses Prinzip entdeckt haben muss und einer der größten Wissenschaftler der Geschichte ist. Es heißt, König Hiero II. Von Syrakus habe einem Goldschmied befohlen, eine neue Krone für ihn herzustellen, für die er ihm eine bestimmte Menge Gold gab.

Archimedes

Als der König die neue Krone erhielt, war es das richtige Gewicht, aber er vermutete, dass der Goldschmied ihn getäuscht hatte, indem er Silber anstelle von Gold hinzufügte. Wie konnte er es beweisen, ohne die Krone zu zerstören?

Hiero rief Archimedes an, dessen Ruf als Gelehrter bekannt war, um ihm bei der Lösung des Problems zu helfen. Die Legende besagt, dass Archimedes in die Badewanne getaucht war, als er die Antwort fand, und so war seine Emotion, dass er nackt durch die Straßen von Syrakus rannte, um nach dem König zu suchen und "eureka" rief, was "ich habe ihn gefunden" bedeutet.

Was hat Archimedes gefunden? Nun, beim Baden stieg der Wasserstand in der Badewanne beim Betreten, was bedeutet, dass ein untergetauchter Körper ein bestimmtes Flüssigkeitsvolumen verdrängt.

Und wenn er die Krone in Wasser tauchte, musste dies auch ein bestimmtes Wasservolumen verdrängen, wenn die Krone aus Gold bestand, und ein anderes, wenn sie aus einer Legierung mit Silber bestand.

Formel

Die Hebekraft, auf die sich das Archimedes-Prinzip bezieht, ist als hydrostatischer Schub oder Auftriebskraft bekannt und entspricht, wie gesagt, dem Gewicht des Flüssigkeitsvolumens, das der Körper beim Eintauchen verdrängt.

Das verschobene Volumen entspricht dem Volumen des Objekts, das ganz oder teilweise eingetaucht ist. Da das Gewicht von irgendetwas mg ist und die Masse der Flüssigkeit Dichte x Volumen ist, was die Größe des Schubes als B bezeichnet, haben wir mathematisch:

B = m _Flüssigkeit xg = Dichte der Flüssigkeit x Untergetauchtes Volumen x Schwerkraft

B = ρ _Flüssigkeit x V _eingetaucht xg

Wobei der griechische Buchstabe ρ ("rho") Dichte bezeichnet.

Scheinbares Gewicht

Das Gewicht von Objekten wird mit dem bekannten mg-Ausdruck berechnet. Beim Eintauchen in Wasser fühlen sich die Dinge jedoch leichter an.

Das scheinbare Gewicht eines Objekts ist das, was es hat, wenn es in Wasser oder eine andere Flüssigkeit eingetaucht ist und wenn man es kennt, kann das Volumen eines unregelmäßigen Objekts wie der Krone von König Hiero erhalten werden, wie unten zu sehen sein wird.

Zu diesem Zweck wird es vollständig in Wasser getaucht und einer Schnur ausgesetzt, die an einem Dynamometer befestigt ist - einem Instrument, das mit einer Feder ausgestattet ist, mit der Kräfte gemessen werden. Je größer das Gewicht des Objekts ist, desto größer ist die Dehnung der Feder, die auf einer in der Vorrichtung bereitgestellten Skala gemessen wird.

Abbildung 2. Scheinbares Gewicht eines eingetauchten Objekts. Quelle: erstellt von F. Zapata.

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes in dem Wissen, dass sich das Objekt in Ruhe befindet:

ΣF _y = B + T - W = 0

Das scheinbare Gewicht W _a entspricht der Spannung in der Saite T:

Da der Schub das Gewicht ausgleicht, da der Flüssigkeitsanteil in Ruhe ist, gilt Folgendes:

Aus diesem Ausdruck folgt, dass der Schub auf die Druckdifferenz zwischen der Oberseite des Zylinders und der Unterseite zurückzuführen ist. Da W = mg = ρ Flüssigkeit. V. g, es muss:

Welches ist genau der Ausdruck für den im vorherigen Abschnitt erwähnten Schub.

Anwendungen

Das Prinzip von Archimedes taucht in vielen praktischen Anwendungen auf, unter denen wir nennen können:

- Der Luftballon. Was aufgrund seiner durchschnittlichen Dichte, die geringer ist als die der Umgebungsluft, aufgrund der Schubkraft darin schwimmt.

- Die Schiffe. Der Schiffsrumpf ist schwerer als Wasser. Betrachtet man jedoch den gesamten Rumpf plus die Luft im Inneren, so ist das Verhältnis der Gesamtmasse zum Volumen geringer als das des Wassers, und dies ist der Grund, warum Schiffe schwimmen.

- Schwimmwesten. Da sie aus leichten und porösen Materialien bestehen, können sie schwimmen, da das Masse-Volumen-Verhältnis niedriger ist als das von Wasser.

- Der Schwimmer zum Schließen des Füllhahns eines Wassertanks. Es handelt sich um eine luftgefüllte Kugel mit großem Volumen, die auf dem Wasser schwimmt und bewirkt, dass die Druckkraft - multipliziert mit dem Hebeleffekt - den Deckel des Füllhahns eines Wassertanks schließt, wenn dieser den Stand erreicht hat. gesamt.

Beispiele

Beispiel 1

Der Legende nach gab König Hiero dem Goldschmied eine bestimmte Menge Gold, um eine Krone herzustellen, aber der misstrauische Monarch glaubte, dass der Goldschmied betrogen haben könnte, indem er ein Metall, das weniger wertvoll als Gold ist, in die Krone legte. Aber wie konnte er es wissen, ohne die Krone zu zerstören?

Der König vertraute das Problem Archimedes an und dieser, der nach einer Lösung suchte, entdeckte sein berühmtes Prinzip.

Angenommen, die Korona wiegt 2,10 kg-f in Luft und 1,95 kg-f, wenn sie vollständig in Wasser getaucht ist. Gibt es in diesem Fall eine Täuschung oder keine?

Abbildung 5. Freikörperdiagramm der Krone von König Reiher. Quelle: erstellt von F. Zapata

Das Diagramm der Kräfte ist in der obigen Abbildung dargestellt. Diese Kräfte sind: das Gewicht P der Krone, der Schub E und die Spannung T des an der Waage hängenden Seils.

Es ist bekannt, dass P = 2,10 kg-f und T = 1,95 kg-f, es bleibt die Größe des Schubes E zu bestimmen :

Andererseits entspricht nach dem Archimedes-Prinzip der Schub E dem Gewicht des Wassers, das aus dem von der Krone eingenommenen Raum verdrängt wird, dh der Dichte des Wassers multipliziert mit dem Volumen der Krone aufgrund der Erdbeschleunigung:

Woher kann das Volumen der Krone berechnet werden:

Die Dichte der Krone ist der Quotient zwischen der Masse der Krone aus dem Wasser und ihrem Volumen:

Die Dichte von reinem Gold kann durch ein ähnliches Verfahren bestimmt werden und das Ergebnis ist 19300 kg / m 3.

Vergleicht man die beiden Dichten, so zeigt sich, dass die Krone kein reines Gold ist!

Beispiel 2

Anhand der Daten und des Ergebnisses von Beispiel 1 kann festgestellt werden, wie viel Gold vom Goldschmied gestohlen wurde, wenn ein Teil des Goldes durch Silber mit einer Dichte von 10.500 kg / m 3 ersetzt wurde.

Wir werden die Dichte der Krone ρc nennen, po die Dichte von Gold und ρ _p die Dichte von Silber.

Die Gesamtmasse der Krone beträgt:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Das Gesamtvolumen der Krone ist das Volumen von Silber plus das Volumen von Gold:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Das Ersetzen der Masse in der Gleichung lautet:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (po - ρ _p ) = Vo (ρc - ρ _p ) V

Das heißt, das Volumen von Gold Vo, das die Krone des Gesamtvolumens V enthält, ist:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (po - ρ _p ) = …

… = 0,00015 m 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m 3

Um das Gewicht der Krone in Gold zu ermitteln, multiplizieren wir Vo mit der Dichte des Goldes:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Da die Masse der Krone 2,10 kg beträgt, wissen wir, dass 0,94858 kg Gold vom Goldschmied gestohlen und durch Silber ersetzt wurden.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein riesiger Heliumballon kann eine Person im Gleichgewicht halten (ohne nach oben oder unten zu gehen).

Angenommen, das Gewicht der Person plus Korb, Seile und Ballon beträgt 70 kg. Wie viel Helium ist dafür erforderlich? Wie groß sollte der Ballon sein?

Lösung

Wir gehen davon aus, dass der Schub hauptsächlich durch das Heliumvolumen erzeugt wird und dass der Schub der übrigen Komponenten im Vergleich zu dem von Helium, das viel mehr Volumen einnimmt, sehr gering ist.

In diesem Fall wird ein Heliumvolumen benötigt, das einen Schub von 70 kg + das Gewicht von Helium liefern kann.

Abbildung 6. Freikörperdiagramm des mit Helium gefüllten Ballons. Quelle: erstellt von F. Zapata.

Der Schub ist das Produkt aus dem Heliumvolumen multipliziert mit der Heliumdichte und der Erdbeschleunigung. Dieser Stoß muss das Gewicht des Heliums plus das Gewicht aller anderen ausgleichen.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

woraus geschlossen wird, dass V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m 3 = 65,4 m 3

Das heißt, 65,4 m 3 Helium werden bei atmosphärischem Druck benötigt, damit es angehoben werden kann.

Wenn wir einen kugelförmigen Globus annehmen, können wir seinen Radius aus der Beziehung zwischen dem Volumen und dem Radius einer Kugel ermitteln:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Von wo aus R = 2,49 m. Mit anderen Worten, es wird ein mit Helium gefüllter Ballon mit 5 m Durchmesser benötigt.

Übung 2

Materialien mit einer geringeren Dichte als Wasser schwimmen darin. Angenommen, Sie haben Styropor (weißer Kork), Holz und Eiswürfel. Ihre Dichte in kg pro Kubikmeter beträgt: 20, 450 und 915.

Finden Sie heraus, welcher Anteil des Gesamtvolumens sich außerhalb des Wassers befindet und wie hoch es über der Wasseroberfläche steht, und nehmen Sie 1000 Kilogramm pro Kubikmeter als Dichte des letzteren.

Lösung

Auftrieb tritt auf, wenn das Gewicht des Körpers dem Schub aufgrund des Wassers entspricht:

E = M⋅g

Abbildung 7. Freikörperdiagramm eines teilweise eingetauchten Objekts. Quelle: erstellt von F. Zapata.

Das Gewicht ist die Dichte des Körpers Dc multipliziert mit seinem Volumen V und der Erdbeschleunigung g.

Der Schub ist das Gewicht der nach dem Archimedes-Prinzip verdrängten Flüssigkeit und wird berechnet, indem die Dichte D des Wassers mit dem eingetauchten Volumen V 'und der Erdbeschleunigung multipliziert wird.

Das ist:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Dies bedeutet, dass der untergetauchte Volumenanteil gleich dem Quotienten zwischen der Dichte des Körpers und der Dichte des Wassers ist.

Das heißt, der ausstehende Volumenanteil (V '' / V) ist

Wenn h die Überhanghöhe und L die Seite des Würfels ist, kann der Volumenanteil als geschrieben werden

Die Ergebnisse für die bestellten Materialien sind also:

Polystyrol (weißer Kork):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% aus dem Wasser

Holz:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% aus dem Wasser

Eis:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% aus dem Wasser

Verweise

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