HYPERBOLISCHES PARABOLOID: DEFINITION, EIGENSCHAFTEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Ein hyperbolisches Paraboloid ist eine Oberfläche, deren allgemeine Gleichung in kartesischen Koordinaten (x, y, z) die folgende Gleichung erfüllt:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Der Name "Paraboloid" kommt von der Tatsache, dass die Variable z von den Quadraten der Variablen x und y abhängt. Während das Adjektiv "hyperbolisch" auf der Tatsache beruht, dass wir bei festen Werten von z die Gleichung einer Hyperbel haben. Die Form dieser Oberfläche ähnelt der eines Pferdesattels.

Abbildung 1. Hyperbolisches Paraboloid z = x ² - y ² . Quelle: F. Zapata mit Wolfram Mathematica.

Beschreibung des hyperbolischen Paraboloids

Um die Natur des hyperbolischen Paraboloids zu verstehen, wird die folgende Analyse durchgeführt:

1.- Wir nehmen den speziellen Fall a = 1, b = 1, dh die kartesische Gleichung des Paraboloids bleibt wie folgt: z = x ² - y ² .

2.- Ebenen werden als parallel zur ZX-Ebene betrachtet, dh y = ctte.

3.- Mit y = ctte bleibt z = x ² - C, die Parabeln mit den Zweigen nach oben und dem Scheitelpunkt unterhalb der XY-Ebene darstellen.

Abbildung 2. Kurvenfamilie z = x ² - C. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.

4.- Mit x = ctte bleibt z = C - y ² , die Parabeln mit den Zweigen nach unten und dem Scheitelpunkt über der XY-Ebene darstellen.

Abbildung 3. Kurvenfamilie z = C - y ² . Quelle: F. Zapata durch Geogebra.

5.- Mit z = ctte bleibt C = x ² - y ² , die Hyperbeln in Ebenen parallel zur XY-Ebene darstellen. Wenn C = 0 ist, gibt es zwei Linien (bei + 45º und -45º in Bezug auf die X-Achse), die sich am Ursprung in der XY-Ebene schneiden.

Abbildung 4. Kurvenfamilie x ² - y ² = C. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.

Eigenschaften des hyperbolischen Paraboloids

1.- Vier verschiedene Punkte im dreidimensionalen Raum definieren ein und nur ein hyperbolisches Paraboloid.

2.- Das hyperbolische Paraboloid ist eine doppelt beherrschte Oberfläche. Dies bedeutet, dass trotz einer gekrümmten Oberfläche zwei verschiedene Linien durch jeden Punkt eines hyperbolischen Paraboloids verlaufen, die vollständig zum hyperbolischen Paraboloid gehören. Die andere Oberfläche, die keine Ebene ist und doppelt beherrscht wird, ist das Hyperboloid der Revolution.

Es ist genau die zweite Eigenschaft des hyperbolischen Paraboloids, die seine breite Verwendung in der Architektur ermöglicht hat, da die Oberfläche aus Balken oder geraden Saiten erzeugt werden kann.

Die zweite Eigenschaft des hyperbolischen Paraboloids ermöglicht eine alternative Definition: Es ist die Oberfläche, die durch eine sich bewegende gerade Linie parallel zu einer festen Ebene erzeugt werden kann und zwei feste Linien schneidet, die als Führung dienen. Die folgende Abbildung verdeutlicht diese alternative Definition des hyperbolischen Paraboloids:

Abbildung 5. Das hyperbolische Paraboloid ist eine doppelt beherrschte Oberfläche. Quelle: F. Zapata.

Arbeitsbeispiele

- Beispiel 1

Zeigen Sie, dass die Gleichung: z = xy einem hyperbolischen Paraboloid entspricht.

Lösung

Eine Transformation wird auf die x- und y-Variablen angewendet, die einer Drehung der kartesischen Achsen in Bezug auf die Z-Achse von + 45º entsprechen. Die alten x- und y-Koordinaten werden gemäß den folgenden Beziehungen in die neuen x 'und y' transformiert:

x = x '- y'

y = x '+ y'

während die z-Koordinate gleich bleibt, dh z = z '.

Durch Einsetzen in die Gleichung z = xy haben wir:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Indem wir das bemerkenswerte Produkt der Differenz durch die Summe anwenden, die der Differenz der Quadrate entspricht, haben wir:

z '= x' ² - y ' ²

Dies entspricht eindeutig der ursprünglich gegebenen Definition des hyperbolischen Paraboloids.

Das Abfangen der Ebenen parallel zur XY-Achse mit dem hyperbolischen Paraboloid z = xy bestimmt gleichseitige Hyperbeln, die als Asymptoten die Ebenen x = 0 und y = 0 haben.

- Beispiel 2

Bestimmen Sie die Parameter a und b des hyperbolischen Paraboloids, das durch die Punkte A (0, 0, 0) verläuft. B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) und D (2, -1, 32/9).

Lösung

Entsprechend seinen Eigenschaften bestimmen vier Punkte im dreidimensionalen Raum ein einzelnes hyperbolisches Paraboloid. Die allgemeine Gleichung lautet:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Wir ersetzen die angegebenen Werte:

Für Punkt A haben wir 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , eine Gleichung, die unabhängig von den Werten der Parameter a und b erfüllt ist.

Durch Einsetzen von Punkt B erhalten wir:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Während für Punkt C bleibt es:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Schließlich erhalten wir für Punkt D:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Welches ist identisch mit der vorherigen Gleichung. Letztendlich muss das Gleichungssystem gelöst werden:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Das Subtrahieren der zweiten Gleichung von der ersten ergibt:

27/9 = 3 / a ^2, was impliziert, dass a ² = 1 ist.

In ähnlicher Weise wird die zweite Gleichung vom Vierfachen der ersten subtrahiert, wobei erhalten wird:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Was vereinfacht wird als:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Kurz gesagt, das hyperbolische Paraboloid, das die gegebenen Punkte A, B, C und D durchläuft, hat eine kartesische Gleichung, die gegeben ist durch:

z = x ² - (4/9) y ²

- Beispiel 3

Entsprechend den Eigenschaften des hyperbolischen Paraboloids verlaufen zwei Linien durch jeden Punkt, die vollständig darin enthalten sind. Für den Fall z = x ^ 2 - y ^ 2 finden Sie die Gleichung der beiden Linien, die durch den Punkt P (0, 1, -1) verlaufen und eindeutig zum hyperbolischen Paraboloid gehören, so dass alle Punkte dieser Linien auch zum Punkt gehören gleich.

Lösung

Unter Verwendung des bemerkenswerten Produkts der Differenz der Quadrate kann die Gleichung für das hyperbolische Paraboloid wie folgt geschrieben werden:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Wobei c eine Konstante ungleich Null ist.

Die Gleichung x + y = cz und die Gleichung x - y = 1 / c entsprechen zwei Ebenen mit Normalenvektoren n = <1,1, -c> und m = <1, -1,0>. Das Vektorprodukt mxn = <- c, -c, -2> gibt die Richtung der Schnittlinie der beiden Ebenen an. Dann hat eine der Linien, die durch den Punkt P verläuft und zum hyperbolischen Paraboloid gehört, eine parametrische Gleichung:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Um c zu bestimmen, setzen wir den Punkt P in die Gleichung x + y = cz ein und erhalten:

c = -1

In ähnlicher Weise, aber unter Berücksichtigung der Gleichungen (x - y = kz) und (x + y = 1 / k) haben wir die parametrische Gleichung der Linie:

= <0, 1, -1> + s mit k = 1.

Zusammenfassend die beiden Zeilen:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> und = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Sie sind vollständig im hyperbolischen Paraboloid z = x ² - y ^{2 enthalten,} das durch den Punkt (0, 1, -1) verläuft.

Nehmen wir zur Kontrolle an, dass t = 1 ist, was uns den Punkt (1,2, -3) in der ersten Zeile gibt. Sie müssen überprüfen, ob es sich auch um das Paraboloid z = x ² - y ^{2 handelt} :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Was bestätigt, dass es tatsächlich zur Oberfläche des hyperbolischen Paraboloids gehört.

Das hyperbolische Paraboloid in der Architektur

Abbildung 6. Ozeanographie von Valencia (Spanien). Quelle: Wikimedia Commons.

Das hyperbolische Paraboloid wurde in der Architektur von den großen Avantgarde-Architekten verwendet, unter denen die Namen des spanischen Architekten Antoni Gaudí (1852-1926) und ganz besonders der auch spanischen Félix Candela (1910-1997) hervorstechen.

Nachfolgend einige Arbeiten, die auf dem hyperbolischen Paraboloid basieren:

-Kapelle der Stadt Cuernavaca (Mexiko) Arbeit des Architekten Félix Candela.

-Die Ozeanographie von Valencia (Spanien), ebenfalls von Félix Candela.

Verweise

1. Enzyklopädie der Mathematik. Linierte Oberfläche. Wiederhergestellt von: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolisches Paraboloid. Wiederhergestellt von: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolisches Paraboloid." Aus MathWorld - Eine Wolfram-Webressource. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Linierte Oberfläche. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com