KOMPLEMENTÄRE WINKEL: WELCHE UND WIE WERDEN SIE BERECHNET, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Zwei oder mehr Winkel sind komplementäre Winkel, wenn die Summe ihrer Maße der eines rechten Winkels entspricht. Bekanntlich beträgt das Maß eines rechten Winkels in Grad 90º und im Bogenmaß π / 2.

Zum Beispiel sind die beiden Winkel neben der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks komplementär zueinander, da die Summe ihrer Maße 90º beträgt. Die folgende Abbildung ist in dieser Hinsicht sehr anschaulich:

Abbildung 1. Links mehrere Winkel mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Rechts ein Winkel von 60º, der den Winkel α (alpha) ergänzt. Quelle: F. Zapata.

In Abbildung 1 sind insgesamt vier Winkel dargestellt. α und β sind komplementär, da sie benachbart sind und ihre Summe einen rechten Winkel vervollständigt. In ähnlicher Weise ist β komplementär zu γ, woraus folgt, dass γ und α gleich groß sind.

Da nun die Summe von α und δ gleich 90 Grad ist, kann festgestellt werden, dass α und δ komplementär sind. Da außerdem β und δ das gleiche komplementäre α haben, kann gesagt werden, dass β und δ das gleiche Maß haben.

Beispiele für komplementäre Winkel

In den folgenden Beispielen wird nach den unbekannten Winkeln gefragt, die in Abbildung 2 mit Fragezeichen markiert sind.

Abbildung 2. Verschiedene Beispiele für komplementäre Winkel. Quelle: F. Zapata.

- Beispiele A, B und C.

Die folgenden Beispiele sind in der Reihenfolge ihrer Komplexität aufgeführt.

Beispiel A.

In der obigen Abbildung haben wir, dass sich die benachbarten Winkel α und 40º zu einem rechten Winkel addieren. Das heißt, α + 40º = 90º, daher α = 90º - 40º = 50º.

Beispiel B.

Da β zum Winkel von 35º komplementär ist, ist β = 90º - 35º = 55º.

Beispiel C.

Aus Abbildung 2C ergibt sich die Summe von γ + 15º + 15º = 90º. Mit anderen Worten ist γ komplementär zum Winkel 30º = 15º + 15º. Damit:

γ = 90º - 30º = 60º

- Beispiele D, E und F.

In diesen Beispielen sind mehr Winkel beteiligt. Um die Unbekannten zu finden, muss der Leser das Konzept des komplementären Winkels so oft wie nötig anwenden.

Beispiel D.

Da X zu 72º komplementär ist, folgt X = 90º - 72º = 18º. Außerdem ist Y komplementär zu X, also Y = 90º - 18º = 72º.

Schließlich ist Z komplementär zu Y. Aus all dem folgt, dass:

Z = 90º - 72º = 18º

Beispiel E.

Die Winkel δ und 2δ sind komplementär, daher ist δ + 2δ = 90º.

Das heißt, 3δ = 90º, was impliziert, dass δ = 90º / 3 = 30º ist.

Beispiel F.

Wenn wir den Winkel zwischen que und 10º U nennen, dann ist U eine Ergänzung zu beiden, da beobachtet wird, dass ihre Summe einen rechten Winkel vervollständigt. Daraus folgt, dass U = 80º. Da U zu ω komplementär ist, ist ω = 10º.

Übungen

Im Folgenden werden drei Übungen vorgeschlagen. In allen muss der Wert der Winkel A und B in Grad gefunden werden, damit die in Abbildung 3 gezeigten Beziehungen erfüllt sind.

Abbildung 3. Abbildungen für ergänzende Winkelübungen. Quelle: F. Zapata.

- Übung 1

Bestimmen Sie die Werte der Winkel A und B aus Teil I) von Abbildung 3.

Lösung

Aus der gezeigten Figur ist ersichtlich, dass A und B komplementär sind, daher A + B = 90º. Wir ersetzen den Ausdruck für A und B als Funktion von x in Teil I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

Die Terme werden dann entsprechend gruppiert und eine einfache lineare Gleichung wird erhalten:

(5x / 2) + 22 = 90

Nach Abzug von 22 in beiden Mitgliedern haben wir:

5x / 2 = 90-22 = 68

Und schließlich wird der Wert von x gelöscht:

x = 2 * 68/5 = 136/5

Nun wird der Winkel A durch Ersetzen des Wertes von X gefunden:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.

Während Winkel B ist:

B = 2 · 136/5 + 15 = 347/5 = 69,4º.

- Übung 2

Finden Sie die Werte der Winkel A und B von Bild II, Abbildung 3.

Lösung

Da A und B komplementäre Winkel sind, folgt wiederum: A + B = 90º. Wenn wir den Ausdruck für A und B als Funktion von x in Teil II) von 3 einsetzen, haben wir:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

Gleiche Begriffe werden zusammengefasst, um die folgende Gleichung zu erhalten:

6 x + 30 = 90

Wenn Sie beide Mitglieder durch 6 teilen, erhalten Sie:

x + 5 = 15

Daraus folgt, dass x = 10º.

So:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 · 10 + 40 = 80º.

- Übung 3

Bestimmen Sie die Werte der Winkel A und B aus Teil III) von Abbildung 3.

Lösung

Wieder wird die Figur sorgfältig analysiert, um die komplementären Winkel zu finden. In diesem Fall haben wir A + B = 90 Grad. Wenn wir den in der Abbildung angegebenen Ausdruck für A und B als Funktion von x einsetzen, haben wir:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

Das Teilen beider Mitglieder durch 3 ergibt Folgendes:

x + 10 = 30

Daraus folgt, dass x = 20º.

Mit anderen Worten ist der Winkel A = -20 +45 = 25º. Und seinerseits: B = 4 * 20 -15 = 65º.

Senkrechte Seitenwinkel

Zwei Winkel sollen senkrechte Seiten haben, wenn jede Seite eine entsprechende Senkrechte auf der anderen hat. Die folgende Abbildung verdeutlicht das Konzept:

Abbildung 4. Winkel senkrechter Seiten. Quelle: F. Zapata.

In 4 sind zum Beispiel die Winkel & agr; und & thgr; beobachtet. Beachten Sie nun, dass jeder Winkel seine entsprechende Senkrechte im anderen Winkel hat.

Es ist auch ersichtlich, dass α und θ den gleichen komplementären Winkel z haben, weshalb der Beobachter sofort zu dem Schluss kommt, dass α und θ das gleiche Maß haben. Es scheint dann, dass wenn zwei Winkel Seiten senkrecht zueinander haben, sie gleich sind, aber schauen wir uns einen anderen Fall an.

Betrachten Sie nun die Winkel α und ω. Diese beiden Winkel haben ebenfalls entsprechende senkrechte Seiten, können jedoch nicht als gleichwertig bezeichnet werden, da einer spitz und der andere stumpf ist.

Beachten Sie, dass ω + θ = 180º ist. Weiterhin ist θ = α. Wenn Sie diesen Ausdruck in der ersten Gleichung durch z ersetzen, erhalten Sie:

δ + α = 180º, wobei δ und α zueinander senkrechte Seitenwinkel sind.

Allgemeine Regel für Winkel senkrechter Seiten

1. Baldor, JA 1973. Ebenen- und Raumgeometrie. Zentralamerikanisches Kultur.
2. Mathematische Gesetze und Formeln. Winkelmesssysteme. Wiederhergestellt von: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Flugzeuggeometrie. Wiederhergestellt von: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Komplementäre Winkel. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Förderer. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: Geschichte, Teile, Betrieb. Wiederhergestellt von: lifeder.com