Der eingeschriebene Winkel eines Kreises ist einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt und dessen Strahlen sekant oder tangential zu ihm sind. Infolgedessen ist der Beschriftungswinkel immer konvex oder flach.
In Abbildung 1 sind mehrere Winkel dargestellt, die in ihren jeweiligen Umfängen eingeschrieben sind. Der Winkel ∠EDF wird eingeschrieben, indem sein Scheitelpunkt D am Umfang und seine zwei Strahlen = liegen.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel neben der Basis gleich, daher ist thereforeBCO = ∠ABC = α. Andererseits ist ∠COB = 180º - β.
Betrachtet man die Summe der Innenwinkel des Dreiecks COB, so ergibt sich:
α + α + (180º - β) = 180º
Daraus folgt, dass 2 α = β ist oder was äquivalent ist: α = β / 2. Dies stimmt mit dem überein, was Satz 1 besagt: Das Maß des eingeschriebenen Winkels ist die Hälfte des Mittelwinkels, wenn beide Winkel den gleichen Akkord bilden.
Demonstration 1b
Figure 6. Hilfskonstruktion, um zu zeigen, dass α = β / 2 ist. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.
In diesem Fall haben wir einen eingeschriebenen Winkel ∠ABC, in dem der Mittelpunkt O des Kreises innerhalb des Winkels liegt.
Um Satz 1 in diesem Fall zu beweisen, zeichnen Sie den Hilfsstrahl) .push ({});
In ähnlicher Weise sind die Mittelwinkel & bgr; 1 und & bgr; 2 dem Strahl benachbart. So haben wir dieselbe Situation wie anzeigen 1a, so kann gesagt werden , dass α 2 = β 2 /2 und & agr; 1 = β 1 /2 ist . Als α = α 1 + α 2 und β = β 1 + β 2 hat daher , dass α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / zwei.
Zusammenfassend ist α = β / 2, was Satz 1 erfüllt.
- Satz 2
Figure 7. Beschriftete Winkel mit gleichem Maß α, da sie den gleichen Bogen A⌒C bilden. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.
- Satz 3
Die Beschriftungswinkel, die Akkorde desselben Taktes umgeben, sind gleich.
Abbildung 8. Beschriftete Winkel, die Akkorde mit gleichem Maß überlagern, haben das gleiche Maß β. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.
Beispiele
- Beispiel 1
Zeigen Sie, dass der Beschriftungswinkel, der den Durchmesser begrenzt, ein rechter Winkel ist.
Lösung
Der mit dem Durchmesser verbundene zentrale Winkel ∠AOB ist ein ebener Winkel, dessen Maß 180º beträgt.
Gemäß Satz 1 hat jeder Winkel, der in den Umfang eingeschrieben ist, der denselben Akkord (in diesem Fall den Durchmesser) begrenzt, als Maß die Hälfte des zentralen Winkels, der denselben Akkord begrenzt, der in unserem Beispiel 180º / 2 = 90º beträgt.
Abbildung 9. Jeder Beschriftungswinkel, der dem Durchmesser unterliegt, ist ein rechter Winkel. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.
- Beispiel 2
Die Tangente der Linie (BC) an A zum Umfang C bestimmt den Beschriftungswinkel ∠BAC (siehe Abbildung 10).
Stellen Sie sicher, dass Satz 1 der Beschriftungswinkel erfüllt ist.
Abbildung 10. Beschriftungswinkel BAC und sein zentraler konvexer Winkel AOA. Quelle: F. Zapata mit Geogebra.
Lösung
Der Winkel ∠BAC ist eingeschrieben, weil sein Scheitelpunkt am Umfang liegt und seine Seiten [AB] und [AC) den Umfang tangieren, sodass die Definition des eingeschriebenen Winkels erfüllt ist.
Andererseits begrenzt der Beschriftungswinkel ∠BAC den Bogen A⌒A, der den gesamten Umfang darstellt. Der zentrale Winkel, der den Bogen A⌒A begrenzt, ist ein konvexer Winkel, dessen Maß der volle Winkel (360º) ist.
Der Beschriftungswinkel, der den gesamten Bogen begrenzt, misst die Hälfte des zugehörigen Mittelwinkels, dh ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Mit all dem oben Gesagten wird verifiziert, dass dieser spezielle Fall Satz 1 erfüllt.
Verweise
- Baldor. (1973). Geometrie und Trigonometrie. Zentralamerikanischer Kulturverlag.
- EA (2003). Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität von Medellin.
- Geometrie 1. ESO. Winkel am Umfang. Wiederhergestellt von: edu.xunta.es/
- Alle Wissenschaft. Vorgeschlagene Winkelübungen im Umfang. Wiederhergestellt von: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Beschrifteter Winkel. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com