KOMPLEXE ZAHLEN: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, OPERATIONEN - MATHE - 2025

Die komplexen Zahlen sind die numerische Menge, die reelle Zahlen und alle Wurzeln der Polynome einschließlich Paarwurzeln negativer Zahlen abdeckt. Diese Wurzeln existieren nicht in der Menge der reellen Zahlen, aber in komplexen Zahlen gibt es die Lösung.

Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Teil, der "imaginär" genannt wird. Der Realteil heißt beispielsweise a und der Imaginärteil ib mit reellen Zahlen a und b und "i" als Imaginäreinheit. Auf diese Weise hat die komplexe Zahl die Form:

Abbildung 1.- Binomiale Darstellung einer komplexen Zahl in Bezug auf Realteil und Imaginärteil. Quelle: Pixabay.

Beispiele für komplexe Zahlen sind 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Aber bevor wir mit ihnen arbeiten, wollen wir unter Berücksichtigung dieser quadratischen Gleichung sehen, woher die imaginäre Einheit i stammt:

x ² - 10x + 34 = 0

In dem a = 1, b = -10 und c = 34.

Wenn wir die Auflösungsformel anwenden, um die Lösung zu bestimmen, finden wir Folgendes:

Wie bestimme ich den Wert von √-36? Es gibt keine reelle Zahl, die im Quadrat eine negative Größe erzeugt. Dann wird geschlossen, dass diese Gleichung keine wirklichen Lösungen hat.

Wir können dies jedoch schreiben:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Wenn wir einen bestimmten Wert x so definieren, dass:

x ² = -1

So:

x = ± √-1

Und die obige Gleichung hätte eine Lösung. Daher wurde die imaginäre Einheit definiert als:

i = √-1

Und so:

√-36 = 6i

Viele Mathematiker der Antike arbeiteten an der Lösung ähnlicher Probleme, insbesondere der Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) und Raffaele Bombelli (1526-1572).

Jahre später nannte René Descartes (1596-1650) die Größen „imaginär“ wie √-36 im Beispiel. Aus diesem Grund ist √-1 als imaginäre Einheit bekannt.

Eigenschaften komplexer Zahlen

-Die Menge komplexer Zahlen wird als C bezeichnet und enthält die reellen Zahlen R und die imaginären Zahlen Im. Die Zahlensätze werden in einem Venn-Diagramm dargestellt, wie in der folgenden Abbildung dargestellt:

Abbildung 2. Venn-Diagramm der Nummernsätze. Quelle: F. Zapata.

-Alle komplexen Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil.

-Wenn der Imaginärteil einer komplexen Zahl 0 ist, ist es eine reine reelle Zahl.

-Wenn der Realteil einer komplexen Zahl 0 ist, ist die Zahl rein imaginär.

- Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihr jeweiliger Realteil und Imaginärteil gleich sind.

- Bei komplexen Zahlen werden die bekannten Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Produkt und Verbesserung ausgeführt, was zu einer weiteren komplexen Zahl führt.

Darstellung komplexer Zahlen

Komplexe Zahlen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Hier sind die wichtigsten:

- Binomialform

Es ist die am Anfang angegebene Form, wobei z die komplexe Zahl ist, a der Realteil ist, b der Imaginärteil ist und i die Imaginäreinheit ist:

Oder auch:

Eine Möglichkeit, die komplexe Zahl grafisch darzustellen, besteht in der in dieser Abbildung gezeigten komplexen Ebene. Die imaginäre Achse Im ist vertikal, während die reale Achse horizontal ist und als Re bezeichnet wird.

Die komplexe Zahl z wird in dieser Ebene als Koordinatenpunkt (x, y) oder (a, b) dargestellt, wie dies bei den Punkten der realen Ebene der Fall ist.

Der Abstand vom Ursprung zum Punkt z ist der Modul der komplexen Zahl, bezeichnet als r, während φ der Winkel ist, den r mit der realen Achse bildet.

Abbildung 3. Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene. Quelle: Wikimedia Commons.

Diese Darstellung ist eng mit der von Vektoren in der realen Ebene verwandt. Der Wert von r entspricht dem Modul der komplexen Zahl.

- Polare Form

Die polare Form besteht darin, die komplexe Zahl durch Angabe der Werte von r und φ auszudrücken. Wenn wir uns die Abbildung ansehen, entspricht der Wert von r der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Beine sind a und b oder x und y wert.

Von der Binomial- oder Binomialform können wir zur polaren Form wechseln, indem wir:

Der Winkel φ ist derjenige, der durch das Segment r mit der horizontalen Achse oder der imaginären Achse gebildet wird. Es ist als komplexes Zahlenargument bekannt. Auf diese Weise:

Das Argument hat unendliche Werte, wobei berücksichtigt wird, dass jedes Mal, wenn eine Kurve gedreht wird, die 2π Radiant wert ist, r wieder dieselbe Position einnimmt. Auf diese allgemeine Weise wird das mit Arg (z) bezeichnete Argument von z folgendermaßen ausgedrückt:

Wobei k eine ganze Zahl ist und verwendet wird, um die Anzahl der gedrehten Windungen anzuzeigen: 2, 3, 4…. Das Zeichen zeigt die Drehrichtung an, wenn es im oder gegen den Uhrzeigersinn ist.

Abbildung 4. Polare Darstellung einer komplexen Zahl in der komplexen Ebene. Quelle: Wikimedia Commons.

Und wenn wir von der polaren zur binomialen Form wechseln wollen, verwenden wir die trigonometrischen Verhältnisse. Aus der vorherigen Abbildung können wir Folgendes ersehen:

x = r cos φ

y = r sin φ

Auf diese Weise ist z = r (cos φ + i sin φ)

Was so abgekürzt wird:

z = r cis φ

Beispiele für komplexe Zahlen

Die folgenden komplexen Zahlen werden in Binomialform angegeben:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Und diese in Form eines geordneten Paares:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Schließlich wird diese Gruppe in polarer oder trigonometrischer Form angegeben:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Wofür sind sie?

Die Nützlichkeit komplexer Zahlen geht über die Lösung der zu Beginn gezeigten quadratischen Gleichung hinaus, da sie auf dem Gebiet der Technik und Physik von wesentlicher Bedeutung sind, insbesondere in folgenden Bereichen:

-Das Studium elektromagnetischer Wellen

-Analyse von Wechselstrom und Spannung

-Die Modellierung aller Arten von Signalen

-Theorie der Relativitätstheorie, bei der die Zeit als imaginäre Größe angenommen wird.

Komplexe Zahlenoperationen

Mit komplexen Zahlen können wir alle Operationen ausführen, die mit realen ausgeführt werden. Einige sind einfacher zu tun, wenn die Zahlen in Binomialform vorliegen, z. B. Addition und Subtraktion. Im Gegensatz dazu sind Multiplikation und Division einfacher, wenn sie mit der polaren Form ausgeführt werden.

Sehen wir uns einige Beispiele an:

- Beispiel 1

Addiere z ₁ = 2 + 5i und z ₂ = -3 -8i

Lösung

Die Realteile werden getrennt von den Imaginärteilen hinzugefügt:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Beispiel 2

Multiplizieren Sie z ₁ = 4 cis 45º und z ₂ = 5 cis 120º

Lösung

Es kann gezeigt werden, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen in polarer oder trigonometrischer Form gegeben ist durch:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Demzufolge:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Anwendung

Eine einfache Anwendung komplexer Zahlen besteht darin, alle Wurzeln einer Polynomgleichung wie der am Anfang des Artikels gezeigten zu finden.

Im Fall der Gleichung x ² - 10x + 34 = 0 erhalten wir unter Anwendung der Auflösungsformel:

Daher sind die Lösungen:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Verweise

1. Earl, R. Komplexe Zahlen. Wiederhergestellt von: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Mathematik 1st. Diversifiziert. CO-BO-Ausgaben.
3. Hoffmann, J. 2005. Auswahl mathematischer Themen. Monfort Veröffentlichungen.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplexe Zahlen. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org