DOMÄNE UND WIDERSPRUCH EINER FUNKTION (MIT BEISPIELEN) - MATHE - 2025

Die Konzepte der Domäne und der Gegendomäne einer Funktion werden üblicherweise in Kalkülkursen unterrichtet, die zu Beginn eines Universitätsabschlusses unterrichtet werden.

Bevor Sie die Domäne und die Widersprüchlichkeit definieren, müssen Sie wissen, was eine Funktion ist. Eine Funktion f ist ein Gesetz (eine Regel) der Entsprechung zwischen den Elementen zweier Mengen.

Die Menge, aus der die Elemente ausgewählt werden, wird als Domäne der Funktion bezeichnet, und die Menge, an die diese Elemente über f gesendet werden, wird als Gegendomäne bezeichnet.

In der Mathematik wird eine Funktion mit Domäne A und Zählerdomäne B mit dem Ausdruck f: A → B bezeichnet.

Der vorherige Ausdruck besagt, dass die Elemente von Satz A gemäß dem Korrespondenzgesetz f an Satz B gesendet werden.

Eine Funktion weist jedem Element der Menge A ein einzelnes Element der Menge B zu.

Domäne und Widerspruch

Wenn eine reelle Funktion einer reellen Variablen f (x) gegeben ist, haben wir, dass die Domäne der Funktion alle diese reellen Zahlen sind, so dass das Ergebnis bei Auswertung in f eine reelle Zahl ist.

Im Allgemeinen ist die Gegendomäne einer Funktion die Menge der reellen Zahlen R. Die Gegendomäne wird auch als Ankunftssatz oder Codomäne der Funktion f bezeichnet.

Ist der Widerspruch einer Funktion immer R?

Nein. Solange die Funktion nicht im Detail untersucht wird, wird die Menge der reellen Zahlen R normalerweise als Gegendomäne genommen.

Sobald die Funktion untersucht wurde, kann eine geeignetere Menge als Gegendomäne verwendet werden, die eine Teilmenge von R sein wird.

Der richtige Satz, der im vorherigen Absatz erwähnt wurde, entspricht dem Bild der Funktion.

Die Definition des Bildes oder Bereichs einer Funktion f bezieht sich auf alle Werte, die aus der Auswertung eines Elements der Domäne in f stammen.

Beispiele

Die folgenden Beispiele veranschaulichen die Berechnung der Domäne einer Funktion und ihres Bildes.

Beispiel 1

Sei f eine reelle Funktion, die durch f (x) = 2 definiert ist.

Die Domäne von f sind alle reellen Zahlen, so dass das Ergebnis bei Auswertung bei f eine reelle Zahl ist. Die Widersprüchlichkeit für den Moment ist gleich R.

Da die gegebene Funktion konstant ist (immer gleich 2), spielt es keine Rolle, welche reelle Zahl gewählt wird, da bei der Auswertung in f das Ergebnis immer gleich 2 ist, was eine reelle Zahl ist.

Daher ist die Domäne der gegebenen Funktion alle reellen Zahlen; das heißt, A = R.

Jetzt, da bekannt ist, dass das Ergebnis der Funktion immer gleich 2 ist, haben wir, dass das Bild der Funktion nur die Zahl 2 ist, daher kann die Gegendomäne der Funktion als B = Img (f) = neu definiert werden {zwei}.

Daher ist f: R → {2}.

Beispiel 2

Sei g eine reelle Funktion, die durch g (x) = √x definiert ist.

Solange das Bild von g nicht bekannt ist, ist die Widersprüchlichkeit von g B = R.

Bei dieser Funktion muss berücksichtigt werden, dass die Quadratwurzeln nur für nicht negative Zahlen definiert sind; das heißt, für Zahlen größer oder gleich Null. Zum Beispiel ist √-1 keine reelle Zahl.

Daher muss die Domäne der Funktion g alle Zahlen größer oder gleich Null sein; das heißt, x ≥ 0.

Daher ist A = [0, + ∞).

Um den Bereich zu berechnen, sollte beachtet werden, dass jedes Ergebnis von g (x), da es eine Quadratwurzel ist, immer größer oder gleich Null ist. Das heißt, B = [0, + ∞).

Abschließend g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Beispiel 3

Wenn wir die Funktion h (x) = 1 / (x-1) haben, haben wir, dass diese Funktion nicht für x = 1 definiert ist, da wir im Nenner Null erhalten würden und die Division durch Null nicht definiert ist.

Andererseits ist das Ergebnis für jeden anderen reellen Wert eine reelle Zahl. Daher ist die Domäne bis auf eine alle Reals; das heißt, A = R \ {1}.

In gleicher Weise kann beobachtet werden, dass der einzige Wert, der als Ergebnis nicht erhalten werden kann, 0 ist, da der Zähler Null sein muss, damit ein Bruch gleich Null ist.

Daher ist das Bild der Funktion die Menge aller Realzahlen außer Null, so dass B = R \ {0} als Widerspruch betrachtet wird.

Abschließend h: R \ {1} → R \ {0}.

Beobachtungen

Die Domäne und das Bild müssen nicht identisch sein, wie in den Beispielen 1 und 3 gezeigt.

Wenn eine Funktion auf der kartesischen Ebene grafisch dargestellt wird, wird die Domäne durch die X-Achse und die Gegendomäne oder der Bereich durch die Y-Achse dargestellt.

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