SPHÄRISCHE KOORDINATEN: BEISPIELE UND GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die sphärischen Koordinaten sind eine Reihe von Ortspunkten im dreidimensionalen Raum, die aus einer Radialkoordinate und zwei Winkelkoordinaten bestehen, die als Polarkoordinate und Azimutalkoordinate bezeichnet werden.

Abbildung 1, die wir unten sehen, zeigt die sphärischen Koordinaten (r, θ, φ) eines Punktes M. Diese Koordinaten beziehen sich auf ein orthogonales System der kartesischen Achsen X, Y, Z des Ursprungs O.

Figure 1. Sphärische Koordinaten (r, θ, φ) eines Punktes M. (Wikimedia Commons)

In diesem Fall ist die Koordinate r des Punktes M der Abstand von diesem Punkt zum Ursprung O. Die Polarkoordinate θ repräsentiert den Winkel zwischen der positiven Halbachse Z und dem Radiusvektor OM. Während die Azimutkoordinate φ der Winkel zwischen der positiven Halbachse X und dem Radiusvektor OM 'ist, ist M' die orthogonale Projektion von M auf die XY-Ebene.

Die Radialkoordinate r nimmt nur positive Werte an, aber wenn sich ein Punkt am Ursprung befindet, ist r = 0. Die Polarkoordinate θ nimmt als Minimalwert 0º für Punkte auf der positiven Halbachse Z und als Maximalwert 180º für die Punkte auf der negativen Halbachse Z an. Schließlich nimmt die Azimutkoordinate φ als Minimalwert 0º und als Maximalhöhe 360º an.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Änderung der Koordinaten

Als nächstes werden die Formeln angegeben, die es ermöglichen, die kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes M zu erhalten, unter der Annahme, dass die sphärischen Koordinaten desselben (r, θ, φ) Punktes bekannt sind:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Auf die gleiche Weise ist es nützlich, die Beziehungen zu finden, die von den kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines gegebenen Punktes zu den sphärischen Koordinaten dieses Punktes gehen:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arctan (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = Arctan (y / x)

Vektorbasis in sphärischen Koordinaten

Aus den sphärischen Koordinaten wird eine orthonormale Basis von Basisvektoren definiert, die mit Ur , Uθ , Uφ bezeichnet sind . In Abbildung 1 sind diese drei Einheitsvektoren dargestellt, die die folgenden Eigenschaften aufweisen:

- Ur ist der Einheitsvektor, der die radiale Linie θ = ctte und φ = ctte tangiert;

- Uθ ist der Einheitsvektor, der den Bogen φ = ctte und r = ctte tangiert;

- Uφ ist der Einheitsvektor, der den Bogen r = ctte und θ = ctte tangiert.

Linien- und Volumenelemente in sphärischen Koordinaten

Der Positionsvektor eines Raumpunktes in sphärischen Koordinaten lautet wie folgt:

r = r Ur

Eine infinitesimale Variation oder Verschiebung eines Punktes im dreidimensionalen Raum in diesen Koordinaten wird jedoch durch die folgende Vektorbeziehung ausgedrückt:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Schließlich wird ein infinitesimales Volumen dV in sphärischen Koordinaten wie folgt geschrieben:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Diese Beziehungen sind sehr nützlich für die Berechnung von Linien- und Volumenintegralen in physikalischen Situationen mit sphärischer Symmetrie.

Beziehung zu geografischen Koordinaten

Unter geografischen Koordinaten werden solche verstanden, die dazu dienen, Orte auf der Erdoberfläche zu lokalisieren. Dieses System verwendet die Koordinaten von Breite und Länge, um die Position auf der Erdoberfläche zu lokalisieren.

Im geografischen Koordinatensystem wird angenommen, dass die Erdoberfläche sphärisch mit dem Radius Rt ist, obwohl bekannt ist, dass sie an den Polen abgeflacht ist, und eine Reihe von imaginären Linien, die als Parallelen und Meridiane bezeichnet werden, wird berücksichtigt.

Abbildung 2. Längengrad α und Breitengrad β eines Beobachters auf der Erdoberfläche.

Der Breitengrad β ist ein Winkel, der durch einen Radius gebildet wird, der vom Erdmittelpunkt bis zu dem Punkt beginnt, den Sie positionieren möchten. Sie wird von der Äquatorialebene aus gemessen, wie in Abbildung 2 dargestellt. Andererseits ist der Längengrad α der Winkel, den der Meridian des zu lokalisierenden Punkts in Bezug auf den Nullmeridian (bekannt als Greenwich-Meridian) bildet.

Der Breitengrad kann der nördliche oder südliche Breitengrad sein, je nachdem, ob sich der von Ihnen lokalisierte Ort auf der Nordhalbkugel oder auf der Südhalbkugel befindet. In ähnlicher Weise kann der Längengrad westlich oder östlich sein, je nachdem, ob der Ort westlich oder östlich des Nullmeridians liegt.

Formeln zum Ändern von geografisch zu sphärisch

Um diese Formeln zu erhalten, muss zunächst ein Koordinatensystem erstellt werden. Die XY-Ebene wird so gewählt, dass sie mit der Äquatorialebene zusammenfällt, wobei die positive X-Halbachse diejenige ist, die vom Erdmittelpunkt ausgeht und durch den Nullmeridian verläuft. Die Y-Achse verläuft wiederum durch den 90 ° E-Meridian. Die Erdoberfläche hat einen Radius Rt.

Mit diesem Koordinatensystem sehen die Transformationen von geografisch zu sphärisch folgendermaßen aus:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Beispiele

Beispiel 1

Die geografischen Koordinaten von Palma de Mallorca (Spanien) sind:

East Longitude 38.847º und North Latitude 39.570º. Um die sphärischen Koordinaten zu bestimmen, die Palma de Mallorca entsprechen, wird die erste der Formeln der Formeln im vorherigen Abschnitt angewendet:

38.847ºE39.570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39.570º, φ = 38.847º)

Die sphärischen Koordinaten sind also:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

In der vorherigen Antwort wurde r gleich dem durchschnittlichen Radius der Erde genommen.

Beispiel 2

Wenn Sie wissen, dass die Malvinas-Inseln (Falkland) geografische Koordinaten von 59ºO 51,75ºS haben, bestimmen Sie die entsprechenden Polarkoordinaten. Denken Sie daran, dass die X-Achse vom Erdmittelpunkt zum 0º-Meridian und auf der Äquatorialebene verläuft. die Y-Achse auch in der Äquatorialebene und durch den 90º-Westmeridian verlaufend; schließlich die Z-Achse auf der Erdrotationsachse in Süd-Nord-Richtung.

Um dann die entsprechenden Kugelkoordinaten zu finden, verwenden wir die im vorherigen Abschnitt dargestellten Formeln:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º-59º) das heißt

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Übungen

Übung 1

Finden Sie die kartesischen Koordinaten von Palma de Mallorca im kartesischen XYZ-Referenzsystem (siehe Abbildung 2).

Lösung: Zuvor wurden in Beispiel 1 die sphärischen Koordinaten ausgehend von den geografischen Koordinaten von Palma de Mallorca erhalten. Die oben dargestellten Formeln können also verwendet werden, um von sphärisch zu kartesisch zu wechseln:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Cos (50,43º)

Durchführen der entsprechenden Berechnungen haben wir:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Übung 2

Finden Sie die kartesischen Koordinaten der Falklandinseln im kartesischen XYZ-Referenzsystem (siehe Abbildung 2).

Lösung: Zuvor wurden in Beispiel 2 die sphärischen Koordinaten ausgehend von den geografischen Koordinaten der Malvinas-Inseln erhalten. Die oben dargestellten Formeln können also verwendet werden, um von sphärisch zu kartesisch zu wechseln:

x = 6371 km Sen (141,75 °) Cos (301 °)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Cos (141,75º)

Durch Ausführen der entsprechenden Berechnungen erhalten wir:

Falklandinseln: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Eine umfassende Anleitung. 7. Auflage. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berechnung cc. Gelöste Probleme mit Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: calculo.cc
3. Astronomie-Workshop. Breiten-und Längengrad. Wiederhergestellt von: tarifamates.blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Sphärische Koordinaten." Aus MathWorld-A Wolfram Web. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com
5. Wikipedia. Sphärisches Koordinatensystem. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Vektorfelder in Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com