KONGRUENZ: KONGRUENTE ZAHLEN, KRITERIEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die Kongruenz in der Geometrie besagt, dass zwei ebene Figuren, die dieselbe Form und dieselben Abmessungen haben, kongruent sind. Beispielsweise sind zwei Segmente kongruent, wenn ihre Längen gleich sind. Ebenso haben kongruente Winkel das gleiche Maß, obwohl sie in der Ebene nicht auf die gleiche Weise ausgerichtet sind.

Der Begriff "Kongruenz" stammt aus der lateinischen Kongruenz, deren Bedeutung Korrespondenz ist. Somit entsprechen zwei kongruente Zahlen genau einander.

Abbildung 1. Die Vierecke ABCD und A'B'C'D 'in der Abbildung sind kongruent: Ihre Seiten haben das gleiche Maß wie ihre Innenwinkel. Quelle: F. Zapata.

Wenn wir zum Beispiel die beiden Vierecke im Bild überlagern, werden wir feststellen, dass sie kongruent sind, da die Anordnung ihrer Seiten identisch ist und sie gleich messen.

Wenn Sie die Vierecke ABCD und A'B'C'D 'übereinander legen, stimmen die Zahlen genau überein. Die zusammenfallenden Seiten werden als homologe oder entsprechende Seiten bezeichnet, und das Symbol ≡ wird verwendet, um die Kongruenz auszudrücken. Wir können also sagen, dass ABCD ≡ A'B'C'D 'ist.

Kongruenzkriterien

Die folgenden Merkmale sind kongruenten Polygonen gemeinsam:

-Die gleiche Form und Größe.

-Identische Messungen ihrer Winkel.

-Das gleiche Maß auf jeder Seite.

Für den Fall, dass zwei fragliche Polygone regelmäßig sind, dh dass alle Seiten und Innenwinkel gleich sind, ist die Kongruenz gewährleistet, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

-Die Seiten sind kongruent

-Die Apotheme haben das gleiche Maß

-Der Radius jedes Polygons misst den gleichen Wert

Das Apothem eines regelmäßigen Polygons ist der Abstand zwischen der Mitte und einer der Seiten, während der Radius dem Abstand zwischen der Mitte und einem Scheitelpunkt oder einer Ecke der Figur entspricht.

Kongruenzkriterien werden häufig verwendet, da so viele Teile und Stücke aller Art in Massenproduktion hergestellt werden und die gleiche Form und Maße haben müssen. Auf diese Weise können sie bei Bedarf leicht ausgetauscht werden, z. B. Muttern, Bolzen, Bleche oder die Pflastersteine ​​auf dem Boden auf der Straße.

Abbildung 2. Die Pflastersteine ​​der Straße sind kongruente Figuren, da ihre Form und Abmessungen genau gleich sind, obwohl sich ihre Ausrichtung auf dem Boden ändern kann. Quelle: Pixabay.

Kongruenz, Identität und Ähnlichkeit

Es gibt geometrische Konzepte in Bezug auf Kongruenz, zum Beispiel identische Figuren und ähnliche Figuren, die nicht unbedingt bedeuten, dass die Figuren kongruent sind.

Beachten Sie, dass die kongruenten Figuren identisch sind, die Vierecke in Abbildung 1 jedoch in der Ebene unterschiedlich ausgerichtet sein können und dennoch kongruent bleiben, da die unterschiedliche Ausrichtung weder die Größe ihrer Seiten noch ihre Winkel ändert. In diesem Fall wären sie nicht mehr identisch.

Das andere Konzept ist das der Ähnlichkeit von Figuren: Zwei ebene Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben und ihre Innenwinkel dieselbe messen, obwohl die Größe der Figuren unterschiedlich sein kann. In diesem Fall sind die Zahlen nicht kongruent.

Beispiele für Kongruenz

- Kongruenz der Winkel

Wie wir zu Beginn angedeutet haben, haben kongruente Winkel das gleiche Maß. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um kongruente Winkel zu erhalten:

Beispiel 1

Zwei Linien mit einem gemeinsamen Punkt definieren zwei Winkel, die aufgrund des Scheitelpunkts als entgegengesetzte Winkel bezeichnet werden. Diese Winkel haben das gleiche Maß, daher sind sie kongruent.

Abbildung 3. Gegenüberliegende Winkel am Scheitelpunkt. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 2

Es gibt zwei parallele Linien plus eine Linie t, die beide schneidet. Wie im vorherigen Beispiel erzeugt diese Linie, wenn sie die Parallelen schneidet, kongruente Winkel, einen auf jeder Linie auf der rechten Seite und zwei auf der linken Seite. Die Figur zeigt α und α ₁ rechts von der Linie t, die kongruent sind.

Abbildung 4. Die in der Abbildung gezeigten Winkel sind kongruent. Quelle: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Beispiel 3

In einem Parallelogramm gibt es vier Innenwinkel, die zwei bis zwei kongruent sind. Sie sind diejenigen zwischen entgegengesetzten Eckpunkten, wie in der folgenden Abbildung gezeigt, in denen die beiden Winkel in Grün kongruent sind, sowie die beiden Winkel in Rot.

Abbildung 5. Die Innenwinkel des Parallelogramms sind zwei mal zwei kongruent. Quelle: Wikimedia Commons.

- Kongruenz der Dreiecke

Zwei Dreiecke gleicher Form und Größe sind kongruent. Um dies zu überprüfen, gibt es drei Kriterien, die auf der Suche nach Kongruenz untersucht werden können:

- LLL-Kriterium : Die drei Seiten der Dreiecke haben die gleichen Maße, daher L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ und L ₃ = L' _3.

Abbildung 6. Beispiel für kongruente Dreiecke, deren Seiten gleich sind. Quelle: F. Zapata.

- ALA- und AAL-Kriterien : Dreiecke haben zwei gleiche Innenwinkel und die Seite zwischen diesen Winkeln hat das gleiche Maß.

Abbildung 7. ALA- und AAL-Kriterien für die Dreieckskongruenz. Quelle: Wikimedia Commons.

- LAL-Kriterium : Zwei der Seiten sind identisch (entsprechend) und es besteht der gleiche Winkel zwischen ihnen.

Abbildung 8. LAL-Kriterium für die Kongruenz von Dreiecken. Quelle: Wikimedia Commons.

Gelöste Übungen

- Übung 1

In der folgenden Abbildung sind zwei Dreiecke dargestellt: ΔABC und ΔECF. Es ist bekannt, dass AC = EF, AB = 6 und CF = 10. Außerdem sind die Winkel ∡BAC und ∡FEC kongruent und die Winkel ∡ACB und ∡FCB sind ebenfalls kongruent.

Abbildung 9. Dreiecke für das Arbeitsbeispiel 1. Quelle: F. Zapata.

Dann ist die Länge des Segments BE gleich:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Lösung

Da die beiden Dreiecke eine Seite gleicher Länge AC = EF zwischen den gleichen Winkeln ∡BAC = ∡CEF und ∡BCA = ∡CFE haben, kann gesagt werden, dass die beiden Dreiecke nach dem ALA-Kriterium kongruent sind.

Das heißt, ΔBAC ≡ ΔCEF, also müssen wir:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Das zu berechnende Segment ist jedoch BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Die richtige Antwort lautet also (iii).

- Übung 2

In der folgenden Abbildung sind drei Dreiecke dargestellt. Es ist auch bekannt, dass die beiden angegebenen Winkel jeweils 80º messen und dass die Segmente AB = PD und AP = CD sind. Finden Sie den Wert des in der Abbildung angegebenen Winkels X.

Abbildung 10. Dreiecke für das aufgelöste Beispiel 2. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Sie müssen die Eigenschaften der Dreiecke anwenden, die Schritt für Schritt detailliert beschrieben werden.

Schritt 1

Ausgehend vom LAL-Dreieckskongruenzkriterium kann festgestellt werden, dass die BAP- und PDC-Dreiecke kongruent sind:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Schritt 2

Das Obige führt zu der Bestätigung, dass BP = PC ist, daher ist das Dreieck ΔBPC gleichschenklig und ∡PCB = ∡PBC = X.

Schritt 3

Wenn wir den Winkel BPC γ nennen, folgt daraus:

2x + γ = 180º

Schritt 4

Und wenn wir die Winkel APB und DCP β und α die Winkel ABP und DPC nennen, haben wir:

α + β + γ = 180º (da APB ein ebener Winkel ist).

Schritt 5

Weiterhin ist α + β + 80º = 180º durch die Summe der Innenwinkel des Dreiecks APB.

Schritt 6

Wenn wir all diese Ausdrücke kombinieren, haben wir:

α + β = 100º

Schritt 7

Und deshalb:

γ = 80º.

Schritt 8

Schließlich folgt daraus:

2X + 80º = 180º

Mit X = 50º.

Verweise

1. Baldor, A. 1973. Ebenen- und Raumgeometrie. Zentralamerikanisches Kultur.
2. CK-12-Stiftung. Kongruente Polygone. Wiederhergestellt von: ck 12.org.
3. Viel Spaß mit Mathe. Definitionen: Radius (Polygon). Wiederhergestellt von: Enjoylasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Testen von Polygonen auf Kongruenz. Wiederhergestellt von: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruenz (Geometrie). Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Dreiecke, Geschichte, Elemente, Klassifikation, Eigenschaften. Wiederhergestellt von: lifeder.com.