- Wie finde ich die Fläche eines Fünfecks?
- Fläche eines regelmäßigen Fünfecks
- Bereich eines unregelmäßigen Fünfecks
- Gaußsche Determinante
- Verweise
Die Fläche eines Fünfecks wird mit einer als Triangulation bekannten Methode berechnet , die auf jedes Polygon angewendet werden kann. Diese Methode besteht darin, das Fünfeck in mehrere Dreiecke zu teilen.
Danach wird die Fläche jedes Dreiecks berechnet und schließlich werden alle gefundenen Flächen hinzugefügt. Das Ergebnis ist die Fläche des Fünfecks.
Das Fünfeck könnte auch in andere geometrische Formen wie ein Trapez und ein Dreieck wie die Abbildung rechts unterteilt werden.
Das Problem ist, dass die Länge der größeren Basis und die Höhe des Trapezes nicht einfach zu berechnen sind. Außerdem muss die Höhe des roten Dreiecks berechnet werden.
Wie finde ich die Fläche eines Fünfecks?
Die allgemeine Methode zur Berechnung der Fläche eines Fünfecks ist die Triangulation. Die Methode kann jedoch unkompliziert oder etwas länger sein, je nachdem, ob das Fünfeck regelmäßig ist oder nicht.
Fläche eines regelmäßigen Fünfecks
Vor der Berechnung der Fläche muss bekannt sein, um welches Apothem es sich handelt.
Das Apothem eines regelmäßigen Fünfecks (reguläres Polygon) ist der kleinste Abstand von der Mitte des Fünfecks (Polygon) zum Mittelpunkt einer Seite des Fünfecks (Polygon).
Mit anderen Worten, das Apothem ist die Länge des Liniensegments, das von der Mitte des Fünfecks bis zum Mittelpunkt einer Seite verläuft.
Betrachten wir ein regelmäßiges Fünfeck so, dass die Länge seiner Seiten "L" beträgt. Teilen Sie zur Berechnung des Apothems zunächst den Mittelwinkel α durch die Anzahl der Seiten, dh α = 360º / 5 = 72º.
Unter Verwendung der trigonometrischen Verhältnisse wird nun die Länge des Apothems wie in der folgenden Abbildung gezeigt berechnet.
Daher hat das Apothem eine Länge von L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Durch Triangulieren des Fünfecks wird eine Figur wie die folgende erhalten.
Alle 5 Dreiecke haben die gleiche Fläche (um ein reguläres Fünfeck zu sein). Daher beträgt die Fläche des Fünfecks das Fünffache der Fläche eines Dreiecks. Das heißt: Fläche eines Fünfecks = 5 * (L * ap / 2).
Wenn wir den Wert des Apothems einsetzen, erhalten wir, dass die Fläche A = 1,72 * L² ist.
Um die Fläche eines regulären Fünfecks zu berechnen, müssen Sie daher nur die Länge einer Seite kennen.
Bereich eines unregelmäßigen Fünfecks
Wir gehen von einem unregelmäßigen Fünfeck aus, so dass die Längen seiner Seiten L1, L2, L3, L4 und L5 sind. In diesem Fall kann das Apothem nicht wie zuvor verwendet werden.
Nach der Triangulation wird eine Zahl wie die folgende erhalten:
Nun zeichnen und berechnen wir die Höhen dieser 5 inneren Dreiecke.
Die Flächen der inneren Dreiecke sind also T1 = L1 · h1 / 2, T2 = L2 · h2 / 2, T3 = L3 · h3 / 2, T4 = L4 · h4 / 2 und T5 = L5 · h5 / 2.
Die Werte für h1, h2, h3, h4 und h5 sind die Höhen jedes Dreiecks.
Schließlich ist die Fläche des Fünfecks die Summe dieser 5 Flächen. Das heißt, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Wie Sie sehen können, ist die Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Fünfecks komplexer als die Berechnung der Fläche eines regulären Fünfecks.
Gaußsche Determinante
Es gibt auch eine andere Methode, mit der die Fläche eines unregelmäßigen Polygons berechnet werden kann, die als Gaußsche Determinante bekannt ist.
Diese Methode besteht darin, das Polygon auf der kartesischen Ebene zu zeichnen und dann die Koordinaten jedes Scheitelpunkts zu berechnen.
Die Eckpunkte werden gegen den Uhrzeigersinn aufgezählt und schließlich werden bestimmte Determinanten berechnet, um schließlich die Fläche des betreffenden Polygons zu erhalten.
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